Soit \(E\) un espace de Banach et \({\cal L}(E)\) l’espace des endomorphismes linéaires continus de \(E\).
1
Soit \(A\in{\cal L}(E)\); montrer que l’application \(\varphi:t\in{\Rr}\to e^{tA}\) est dérivable et calculer sa dérivée.
2
On suppose que la norme de \(E\) est associée au produit scalaire \(\langle \cdot,\cdot\rangle\). Soit \(x\in E\). Montrer que l’application \(\Phi:t\to \langle e^{tA}x,e^{tA}x\rangle\) est dérivable et calculer sa dérivée.
3
On suppose que \(A\) est antisymétrique. Montrer que pour tout \(t\), \(e^{tA}\) est unitaire.