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Soit $A\in{\cal L}(E)$; montrer que l’application $\varphi:t\in{\Rr}\to e^{tA}$ est dérivable et calculer sa dérivée.

On suppose que la norme de $E$ est associée au produit scalaire $\langle \cdot,\cdot\rangle$. Soit $x\in E$. Montrer que l’application $\Phi:t\to \langle e^{tA}x,e^{tA}x\rangle$ est dérivable et calculer sa dérivée.

On suppose que $A$ est antisymétrique. Montrer que pour tout $t$, $e^{tA}$ est unitaire.