Soit \({\cal F}\) l’algèbre des matrices carrés \(p\times p\) munie d’une norme.
1
Soit \(f:\mathcal{F} \to \Rr\) l’application qui associe à une matrice \(A\) son determinant \(f(A) = \det (A)\). Montrer qu’elle est différentiable et déterminer \(Df\).
2
Pour \(n\geq 1\), on considère l’application \(\varphi _n (A) =A^n\) de \({\cal F}\) dans \({\cal F}\). Montrer qu’elle est différentiable en toute matrice \(A\in {\cal F}\).
3
On désigne par \(U\) l’ensemble des matrices inversibles de \({\cal F}\). Montrer que \(U\) est un ouvert de \({\cal F}\) et calculer la différentielle de l’application \(A\mapsto A^{-1}\) de \(U\) dans \(U\).