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Soit $f:\mathcal{F} \to \Rr$ l’application qui associe à une matrice $A$ son determinant $f(A) = \det (A)$. Montrer qu’elle est différentiable et déterminer $Df$.

Pour $n\geq 1$, on considère l’application $\varphi _n (A) =A^n$ de ${\cal F}$ dans ${\cal F}$. Montrer qu’elle est différentiable en toute matrice $A\in {\cal F}$.

On désigne par $U$ l’ensemble des matrices inversibles de ${\cal F}$. Montrer que $U$ est un ouvert de ${\cal F}$ et calculer la différentielle de l’application $A\mapsto A^{-1}$ de $U$ dans $U$.