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Montrer que si $A$ et $B$ sont deux polynômes à coefficients dans $\Q$, alors le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$, ainsi que $\pgcd(A,B)$, sont aussi à coefficients dans $\Qq$.

Soit $a,b,c\in\Cc^*$ distincts, et $0<p<q<r$ des entiers. Montrer que si $P(X)=(X-a)^p(X-b)^q(X-c)^r$ est à coefficients dans $\Qq$, alors $a,b,c \in \Qq$.