\(X^6-7X^4+8X^3-7X+7=(X^6+8X^3+7)-(7X^4+7X)=(X^3+1)(X^3+7)-7X(X^3+1)=(X^3+1)(X^3-7X+7)\) et \(3X^5-7X^3+3X^2-7=3X^2(X^3+1)-7(X^3+1)=(X^3+1)(3X^2-7)\). Donc,

\[(X^6-7X^4+8X^3-7X+7)\wedge(3X^5-7X^3+3X^2-7)=(X^3+1)((X^3-7X+7)\wedge(3X^2-7)).\]

Maintenant, pour \(\varepsilon\in\{-1,1\}\), \((\varepsilon\sqrt{\frac{7}{3}})^3-7(\varepsilon\sqrt{\frac{7}{3}})+7=-(\varepsilon\frac{14}{3}\sqrt{\frac{7}{3}})+7\neq0\).

Les polynômes \((X^3-7X+7)\) et \((3X^2-7)\) n’ont pas de racines communes dans \(\Cc\) et sont donc premiers entre eux. Donc, \((X^6-7X^4+8X^3-7X+7)\wedge(3X^5-7X^3+3X^2-7)=X^3+1\).

exo7 5317