Pour \(n\in\Nn\), posons \(v_n=\ln(1+u_n)\), \(w_n=\frac{u_n}{1+u_n}\) et \(t_n=\int_{0}^{u_n}\frac{dx}{1+x^e}\).

Si \(u_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\rightarrow}0\), alors \(0\leqslant u_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}v_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}w_n\). Dans ce cas, les séries de termes généraux \(u_n\), \(v_n\) et \(w_n\) sont de même nature.

D’autre part, pour \(n\in\Nn\), \(\frac{u_n}{1+u_n^e}\leqslant t_n\leqslant u_n\) puis \(\frac{1}{1+u_n^e}\leqslant\frac{t_n}{u_n}\leqslant1\)et donc \(t_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}u_n\). Les séries de termes généraux \(u_n\) et \(t_n\) sont aussi de même nature.

Si \(u_n\) ne tend pas vers \(0\), la série de terme général \(u_n\) est grossièrement divergente. Puisque \(u_n =e^{v_n}-1\), \(v_n\) ne tend pas vers \(0\) et la série de terme général \(v_n\) est grossièrement divergente. Dans ce cas aussi, les séries de termes généraux sont de même nature.

De même, puisque \(w_n=\frac{u_n}{1+u_n}<1\), on a \(u_n =\frac{w_n}{1-w_n}\) et \(w_n\) ne peut tendre vers \(0\).

Enfin, puisque \(u_n\) ne tend pas vers \(0\), il existe \(\varepsilon> 0\) tel que pour tout entier naturel \(N\), il existe \(n = n(N)\geqslant N\) tel que \(u_n\geqslant\varepsilon\). Pour cet \(\epsilon\) et ces \(n\), on a \(t_n\geqslant\int_{0}^{\varepsilon}\frac{dx}{1+x^e}>0\) (fonction continue, positive et non nulle) et la suite \(t_n\) ne tend pas vers \(0\). Dans le cas où \(u_n\) ne tend pas vers \(0\), les quatre séries sont grossièrement divergentes.

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