Pour $n\in\Nn$ , posons $v_n=\ln(1+u_n)$ , $w_n=\frac{u_n}{1+u_n}$ et $t_n=\int_{0}^{u_n}\frac{dx}{1+x^e}$ .

Si $u_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\rightarrow}0$ , alors $0\leqslant u_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}v_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}w_n$ . Dans ce cas, les séries de termes généraux $u_n$ , $v_n$ et $w_n$ sont de même nature.

D’autre part, pour $n\in\Nn$ , $\frac{u_n}{1+u_n^e}\leqslant t_n\leqslant u_n$ puis $\frac{1}{1+u_n^e}\leqslant\frac{t_n}{u_n}\leqslant1$ et donc $t_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}u_n$ . Les séries de termes généraux $u_n$ et $t_n$ sont aussi de même nature.

Si $u_n$ ne tend pas vers $0$ , la série de terme général $u_n$ est grossièrement divergente. Puisque $u_n =e^{v_n}-1$ , $v_n$ ne tend pas vers $0$ et la série de terme général $v_n$ est grossièrement divergente. Dans ce cas aussi, les séries de termes généraux sont de même nature.

De même, puisque $w_n=\frac{u_n}{1+u_n}<1$ , on a $u_n =\frac{w_n}{1-w_n}$ et $w_n$ ne peut tendre vers $0$ .

Enfin, puisque $u_n$ ne tend pas vers $0$ , il existe $\varepsilon> 0$ tel que pour tout entier naturel $N$ , il existe $n = n(N)\geqslant N$ tel que $u_n\geqslant\varepsilon$ . Pour cet $\epsilon$ et ces $n$ , on a $t_n\geqslant\int_{0}^{\varepsilon}\frac{dx}{1+x^e}>0$ (fonction continue, positive et non nulle) et la suite $t_n$ ne tend pas vers $0$ . Dans le cas où $u_n$ ne tend pas vers $0$ , les quatre séries sont grossièrement divergentes.

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