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Soit $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ non nulle. Montrer que l’application ${f_A} : {\mathcal{M}_{p,n}(K)} \to { K}, X \mapsto {\mathrm{tr}(AX)}$ est une forme linéaire non nulle sur $\mathcal{M}_{p,n}(K)$.

Réciproquement : Soit $\phi : {\mathcal{M}_{p,n}(K)} \to { K}$ une forme linéaire quelconque. Montrer qu’il existe une unique matrice $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ telle que $\phi = f_A$ (on pourra considérer l’application $A \mapsto f_A$).

Soit $\phi : {\mathcal{M}_n(K)} \to K$ une forme linéaire vérifiant : $\forall\ X,Y \in \mathcal{M}_n(K),\ \phi(XY) = \phi(YX)$.

Montrer qu’il existe $\lambda \in K$ tel que $\phi = \lambda\mathrm{tr}$.