1
Soit \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)\) non nulle. Montrer que l’application \({f_A} : {\mathcal{M}_{p,n}(K)} \to { K}, X \mapsto {\mathrm{tr}(AX)}\) est une forme linéaire non nulle sur \(\mathcal{M}_{p,n}(K)\).
2
Réciproquement : Soit \(\phi : {\mathcal{M}_{p,n}(K)} \to { K}\) une forme linéaire quelconque. Montrer qu’il existe une unique matrice \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)\) telle que \(\phi = f_A\) (on pourra considérer l’application \(A \mapsto f_A\)).
3
Soit \(\phi : {\mathcal{M}_n(K)} \to K\) une forme linéaire vérifiant : \(\forall\ X,Y \in \mathcal{M}_n(K),\ \phi(XY) = \phi(YX)\).
Montrer qu’il existe \(\lambda \in K\) tel que \(\phi = \lambda\mathrm{tr}\).