Soit \(E=\mathcal{C}^1([0,1],\R)\) et \(\varphi (f,g)= \int_{[0,1]} fg+f'g'\).
1
Montrer que \(\varphi\) est un produit scalaire.
2
Soit \(V=\{f\in E\, |\, f(0)=f(1)=0\}\) et \(W=\{f\in E \, |\, f''=f\}\). Montrer que \(V\) et \(W\) sont supplémentaires orthogonaux et exprimer la projection orthogonale sur \(W\).
3
Soit \(E_{\alpha \beta}=\{f\in E\, |\, f(0)=\alpha \text{ et } f(1)=\beta\}\). Déterminer \(\inf\limits_{f\in E_{\alpha \beta}} \int_{[0,1]} f^2+f'^2\).