Soit \((\Omega, \Sigma)\) un espace mesurable (i.e. un ensemble \(\Omega\) muni d’une tribu \(\Sigma \subset \mathcal{P}(\Omega)\)). Soit \(\mu\) une mesure finie sur \((\Omega, \Sigma)\). Montrer les propriétés suivantes : (\(A,B,A_i\) sont des élements de de \(\Sigma\))
Si \(A_{1}, A_{2}, \dots, A_{k}\) sont deux à deux disjoints, alors \[\mu\left(\cup_{i=1}^{k} A_{i}\right) = \sum_{i=1}^{k} \mu(A_{i}).\]
Si \(B \subset A\) alors \(\mu(A\setminus B) = \mu(A) -\mu(B)\).
Monotonie : Si \(B \subset A\) alors \(\mu(B) \leq \mu(A)\).
Principe inclusion-exclusion : \(\mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B)\).
\(\mu\left(\cup_{i=1}^{+\infty} A_{i}\right) \leq \sum_{i=1}^{+\infty}\mu(A_{i}).\) (Rappelons que l’on a égalité si l’union est disjointe.)