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Soit $(\Omega, \Sigma)$ un espace mesurable (i.e. un ensemble $\Omega$ muni d’une tribu $\Sigma \subset \mathcal{P}(\Omega)$ ). Soit $\mu$ une mesure finie sur $(\Omega, \Sigma)$ . Montrer les propriétés suivantes : ( $A,B,A_i$ sont des élements de de $\Sigma$ )

Si $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{k}$ sont deux à deux disjoints, alors $\mu\left(\cup_{i=1}^{k} A_{i}\right) = \sum_{i=1}^{k} \mu(A_{i}).$

Si $B \subset A$ alors $\mu(A\setminus B) = \mu(A) -\mu(B)$ .

Monotonie : Si $B \subset A$ alors $\mu(B) \leq \mu(A)$ .

Principe inclusion-exclusion : $\mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B)$ .

$\mu\left(\cup_{i=1}^{+\infty} A_{i}\right) \leq \sum_{i=1}^{+\infty}\mu(A_{i}).$ (Rappelons que l’on a égalité si l’union est disjointe.)

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