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Soit $\Omega'$ l’ouvert de $\mathbb{R}^{n}$ défini par $\Omega' = \{(r, \theta_1, \dots, \theta_{n-1})\in\mathbb{R}^{n}~|~ 0< r, 0 <\theta_1, \dots, \theta_{n-2} < \pi, 0 < \theta_{n-1} < 2\pi\}.$ Soit l’application $S$ de $\Omega'$ dans $\mathbb{R}^{n}$ définie par $\begin{array}{lcl} x_1 &= &r \cos \theta_1,\\ x_2 &=& r \sin \theta_1 \cos \theta_2,\\ \vdots & & \\ x_{n-2} &=& r \sin \theta_1 \sin \theta_2 \dots \cos \theta_{n-2}\\ x_{n-1} &=& r \sin \theta_1 \sin\theta_2 \dots \sin \theta_{n-2} \cos \theta_{n-1}\\ x_{n} &=& r \sin \theta_1 \sin \theta_2 \dots \sin\theta_{n-2} \sin \theta_{n-1}, \end{array}$ où $(x_1, \dots, x_n)$ sont les coordonnées cartésiennes de $x\in\mathbb{R}^n$ .

Soit $\Omega = \mathbb{R}^n\setminus\{ x\in\mathbb{R}^n~|~x_{n} = 0~\text{et}~x_{n-1} \geq 0~\}.$ Montrer que $\Omega$ est une partie ouverte de $\mathbb{R}^n$ dont le complémentaire est de mesure nulle, et que $S$ est un difféomorphisme de $\Omega'$ sur $\Omega$ .

Soit $f$ une fonction borélienne positive sur $\mathbb{R}^{n}$ . Montrer que $\begin{array}{lcl} \int_{\mathbb{R}^n} f(x)\,dx &=& \int_{\Omega'} (f\circ S)(r, \theta_1, \dots, \theta_{n-1})\,r^{n-1} \sin^{n-2}\theta_{1}\,\sin^{n-3}\theta_2 \dots \sin \theta_{n-2}\,dr\,d\theta_1 \dots d\theta_{n-1}\\ & & \\ & =& \int_{\Omega'} (f\circ S)(r, \theta_1, \dots, \theta_{n-1})\,r^{n-1}\,dr\,d\sigma, \end{array}$ où $d\sigma$ est la mesure uniforme sur la sphère unité de $\mathbb{R}^{n}$ .

En utilisant les coordonnées sphériques, calculer le volume $\mathcal{V}_4$ de la boule unité de $\mathbb{R}^4$ et l’aire $\mathcal{A}_{3}$ de la sphère unité $\mathcal{S}^3$ de $\mathbb{R}^4$ .

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