Soit \(\Omega'\) l’ouvert de \(\mathbb{R}^{n}\) défini par \[\Omega' = \{(r, \theta_1, \dots, \theta_{n-1})\in\mathbb{R}^{n}~|~ 0< r, 0 <\theta_1, \dots, \theta_{n-2} < \pi, 0 < \theta_{n-1} < 2\pi\}.\] Soit l’application \(S\) de \(\Omega'\) dans \(\mathbb{R}^{n}\) définie par \[\begin{array}{lcl} x_1 &= &r \cos \theta_1,\\ x_2 &=& r \sin \theta_1 \cos \theta_2,\\ \vdots & & \\ x_{n-2} &=& r \sin \theta_1 \sin \theta_2 \dots \cos \theta_{n-2}\\ x_{n-1} &=& r \sin \theta_1 \sin\theta_2 \dots \sin \theta_{n-2} \cos \theta_{n-1}\\ x_{n} &=& r \sin \theta_1 \sin \theta_2 \dots \sin\theta_{n-2} \sin \theta_{n-1}, \end{array}\] où \((x_1, \dots, x_n)\) sont les coordonnées cartésiennes de \(x\in\mathbb{R}^n\).
Soit \(\Omega = \mathbb{R}^n\setminus\{ x\in\mathbb{R}^n~|~x_{n} = 0~\text{et}~x_{n-1} \geq 0~\}.\) Montrer que \(\Omega\) est une partie ouverte de \(\mathbb{R}^n\) dont le complémentaire est de mesure nulle, et que \(S\) est un difféomorphisme de \(\Omega'\) sur \(\Omega\).
Soit \(f\) une fonction borélienne positive sur \(\mathbb{R}^{n}\). Montrer que \[\begin{array}{lcl} \int_{\mathbb{R}^n} f(x)\,dx &=& \int_{\Omega'} (f\circ S)(r, \theta_1, \dots, \theta_{n-1})\,r^{n-1} \sin^{n-2}\theta_{1}\,\sin^{n-3}\theta_2 \dots \sin \theta_{n-2}\,dr\,d\theta_1 \dots d\theta_{n-1}\\ & & \\ & =& \int_{\Omega'} (f\circ S)(r, \theta_1, \dots, \theta_{n-1})\,r^{n-1}\,dr\,d\sigma, \end{array}\] où \(d\sigma\) est la mesure uniforme sur la sphère unité de \(\mathbb{R}^{n}\).
En utilisant les coordonnées sphériques, calculer le volume \(\mathcal{V}_4\) de la boule unité de \(\mathbb{R}^4\) et l’aire \(\mathcal{A}_{3}\) de la sphère unité \(\mathcal{S}^3\) de \(\mathbb{R}^4\).