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Soit \(f\) une fonction dans \(\mathcal{C}^{\infty}_c(\mathbb{R}^{n})\) et \(0< \alpha< n\). Posons \(c_{\alpha}~:= \pi^{-\alpha/2} \Gamma(\alpha/2)\). En utilisant l’identité \[c_{\alpha} |k|^{-\alpha} = \int_{0}^{\infty} e^{-\pi |k|^2\lambda}\,\lambda^{\frac{\alpha}{2}-1}\,d\lambda,\] montrer que \[c_{\alpha}\left(|k|^{-\alpha}\hat{f}(k)\right)^{\vee}(x) = c_{n-\alpha}\int_{\mathbb{R}^{n}} |x- y|^{\alpha - n}f(y)dy,\] où la notation \(h^{\vee}\) désigne la transformée de Fourier inverse d’une fonction \(h\) donnée par \(h^{\vee}(x) := \hat{h}(-x)\).