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Soit $f$ une fonction dans $\mathcal{C}^{\infty}_c(\mathbb{R}^{n})$ et $0< \alpha< n$. Posons $c_{\alpha}~:= \pi^{-\alpha/2} \Gamma(\alpha/2)$. En utilisant l’identité $$c_{\alpha} |k|^{-\alpha} = \int_{0}^{\infty} e^{-\pi |k|^2\lambda}\,\lambda^{\frac{\alpha}{2}-1}\,d\lambda,$$ montrer que $$c_{\alpha}\left(|k|^{-\alpha}\hat{f}(k)\right)^{\vee}(x) = c_{n-\alpha}\int_{\mathbb{R}^{n}} |x- y|^{\alpha - n}f(y)dy,$$ où la notation $h^{\vee}$ désigne la transformée de Fourier inverse d’une fonction $h$ donnée par $h^{\vee}(x) := \hat{h}(-x)$.