Le but de cet exercice est de prouver le Théorème de Carathéodory.
Définition. Une mesure extérieure sur un ensemble \(\Omega\) est une application \(m_*~:\mathcal{P}(\Omega) \rightarrow [0,+\infty]\) telle que
1
[(i)] \(m_*(\emptyset) = 0~;\)
2
[(ii)] (monotonie) \(A \subset B \Rightarrow m_*(A) \leq m_*(B)~;\)
3
[(iii)] (\(\sigma\)-sous-additivité) Pour toute suite d’ensembles \(\{ A_{i} \}_{i\in\mathbb{N}^*} \subset \mathcal{P}(\Omega)\) on a \[m_{*}\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} \right) \leq \sum_{i=1}^{\infty} m_{*}(A_{i}).\]