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Théorème Soit $\{\varphi_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$ telles que :

(i) $\int_{\mathbb{R}^n} \varphi_{n} = 1$
(ii) il existe une constante $K > 0$ telle que $~\sup_{n\in\mathbb{N}} \int_{\mathbb{R}^n} |\varphi_{n}|(x) \,dx \leq K$
(iii) Pour tout $\varepsilon>0$ , on a $\lim_{n\rightarrow +\infty}\int_{\|x\|>\varepsilon} |\varphi_{n}(x)|\,dx = 0$ .

Alors pour tout $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$ , $1\leq p <+\infty$ , $\lim_{n\rightarrow+\infty}\|\varphi_{n}*f - f\|_p = 0$ .

Le but de cet exercice est de démontrer ce théorème.

Soit $\{\varphi_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions vérifiant les hypothèses (i), (ii) et (iii) du théorème, et soit $1\leq p <+\infty$ .

En notant $q$ l’exposant conjugué de $p$ ( $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ ), et en utilisant l’inégalité de Hölder pour la mesure $d\nu(x) = |\varphi_n|(x)\,dx$ , montrer que $|\varphi_n * f - f|^p(x) \leq \left(\int_{\mathbb{R}^n} |\varphi_n|(x)\,dx \right)^{\frac{p}{q}} \left(\int_{\mathbb{R}^n} |f(x - y) - f(x)|^p |\varphi_n|(y)\,dy\right).$

En déduire que $\|\varphi_n * f - f\|_{p}^{p} \leq K^{\frac{p}{q}} \int_{\mathbb{R}^{n}} \|\tau_{y}f - f\|_{p}^p |\varphi_n(y)|\,dy.$

Soit $\delta>0$ , montrer que $\|\varphi_n * f - f\|_{p}^{p} \leq K^{\frac{p}{q}}\left(\sup_{|y|\leq\delta}\|\tau_{y}f - f\|_{p}^p + 2^p\|f\|_{p}^{p}\int_{|y|>\delta} |\varphi_{n}(y)|\,dy \right).$

En déduire le théorème cherché.

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