Théorème Soit \(\{\varphi_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\) une suite de fonctions de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}\) telles que :
\(\int_{\mathbb{R}^n} \varphi_{n} = 1\)
il existe une constante \(K > 0\) telle que \(~\sup_{n\in\mathbb{N}} \int_{\mathbb{R}^n} |\varphi_{n}|(x) \,dx \leq K\)
Pour tout \(\varepsilon>0\), on a \(\lim_{n\rightarrow +\infty}\int_{\|x\|>\varepsilon} |\varphi_{n}(x)|\,dx = 0\).
Alors pour tout \(f\in L^p(\mathbb{R}^n)\), \(1\leq p <+\infty\), \(\lim_{n\rightarrow+\infty}\|\varphi_{n}*f - f\|_p = 0\).
Le but de cet exercice est de démontrer ce théorème.
Soit \(\{\varphi_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\) une suite de fonctions vérifiant les hypothèses (i), (ii) et (iii) du théorème, et soit \(1\leq p <+\infty\).
En notant \(q\) l’exposant conjugué de \(p\) (\(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\)), et en utilisant l’inégalité de Hölder pour la mesure \(d\nu(x) = |\varphi_n|(x)\,dx\), montrer que \[|\varphi_n * f - f|^p(x) \leq \left(\int_{\mathbb{R}^n} |\varphi_n|(x)\,dx \right)^{\frac{p}{q}} \left(\int_{\mathbb{R}^n} |f(x - y) - f(x)|^p |\varphi_n|(y)\,dy\right).\]
En déduire que \[\|\varphi_n * f - f\|_{p}^{p} \leq K^{\frac{p}{q}} \int_{\mathbb{R}^{n}} \|\tau_{y}f - f\|_{p}^p |\varphi_n(y)|\,dy.\]
Soit \(\delta>0\), montrer que \[\|\varphi_n * f - f\|_{p}^{p} \leq K^{\frac{p}{q}}\left(\sup_{|y|\leq\delta}\|\tau_{y}f - f\|_{p}^p + 2^p\|f\|_{p}^{p}\int_{|y|>\delta} |\varphi_{n}(y)|\,dy \right).\]
En déduire le théorème cherché.