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Soit $E$ un espace de Banach. On suppose qu’il existe une famille $(O_{i})_{i\in I}$ telle que

Pour tout $i\in I$, $O_i$ est un ouvert non vide de $E$.

$O_i \cap O_j = \emptyset$ si $i\neq j$.

$I$ n’est pas dénombrable.

Montrer que $E$ n’est pas séparable. (On pourra raisonner par l’absurde).

Pour tout $a\in \mathbb{R}^{n}$, on pose $f_{a} = \mathbf{1}_{\mathcal{B}(a, 1)}$ où $\mathcal{B}(a, 1)$ est la boule de $\mathbb{R}^n$ de rayon $1$ centrée en $a$. Montrer que la famille $$O_a = \{ f\in L^{\infty}(\mathbb{R}^n), ~ \|f - f_a \|_{\infty} < \frac{1}{2}\},$$ où $a$ parcourt les points de $\mathbb{R}^n$, satisfait (a), (b) et (c). Conclure.