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Posons $$\alpha = \mu + 2\nu, \quad\quad \omega = 2\mu + \nu.$$ On considère l’espace de Hilbert $L^2(\Omega, \alpha)$ des fonctions de carré intégrable par rapport à la mesure $\alpha$ et l’application linéaire $\varphi~: L^2(\Omega, \alpha) \rightarrow \mathbb{C}$ donnée par : $$\varphi(f) = \int_{\Omega} f(x)\,d\omega(x).$$ Montrer que $\varphi~: L^2(\Omega, \alpha) \rightarrow \mathbb{C}$ est une application linéaire continue.

En déduire qu’il existe $g\in L^{2}(\Omega, \alpha)$ tel que pour tout $f \in L^2(\Omega, \alpha)$ : $$\int_{\Omega} f(2g - 1) \,d\nu = \int_{\Omega} f(2 - g) \,d\mu.$$

Montrer que les ensembles $S_{1l} := \{x\in\Omega, g(x) < \frac{1}{2} - \frac{1}{l}\}$ et $S_{2l} := \{x\in \Omega, g(x) > 2 + \frac{1}{l}\}$ où $l\in\mathbb{N}^*$ vérifient $\mu(S_{jl}) = \nu(S_{jl}) = 0$. En déduire que l’on peut choisir la fonction $g$ de telle manière que $\frac{1}{2} \leq g \leq 2$. Montrer que l’ensemble $Z = \{ x\in \Omega~: g(x) = \frac{1}{2}\}$ est de $\mu$-mesure $0$.

Montrer que la fonction $$h(x) = \frac{2 - g(x)}{2g(x) - 1}$$ est bien définie, positive, appartient à $L^{1}(\Omega, \mu)$ et satisfait [radon].