Définition. Soient \(\mu\) et \(\nu\) deux mesures sur un espace mesuré \((\Omega, \Sigma)\). On dit que \(\nu\) est absolument continue par rapport à \(\mu\) et on écrit \(\nu<<\mu\) si \[\mu(S) = 0 \Rightarrow \nu(S) = 0\] pour tout \(S\in\Sigma\).
Théorème de Radon-Nikodym.
Soient \(\mu\) et \(\nu\) deux mesures finies sur un espace mesuré \((\Omega, \Sigma)\). Si \(\nu\) est absolument continue par rapport à \(\mu\), alors il existe une fonction positive \(h\in L^1(\Omega, \mu)\) telle que pour toute fonction positive mesurable \(F\) on a : \[\begin{equation}\label{radon} \int_{\Omega} F(x) \,d\nu(x) = \int_{\Omega} F(x) h(x)\,d\mu(x). \end{equation}\]
Le but de cet exercice est de démontrer ce théorème de Radon-Nikodym.
Posons \[\alpha = \mu + 2\nu, \quad\quad \omega = 2\mu + \nu.\] On considère l’espace de Hilbert \(L^2(\Omega, \alpha)\) des fonctions de carré intégrable par rapport à la mesure \(\alpha\) et l’application linéaire \(\varphi~: L^2(\Omega, \alpha) \rightarrow \mathbb{C}\) donnée par : \[\varphi(f) = \int_{\Omega} f(x)\,d\omega(x).\] Montrer que \(\varphi~: L^2(\Omega, \alpha) \rightarrow \mathbb{C}\) est une application linéaire continue.
En déduire qu’il existe \(g\in L^{2}(\Omega, \alpha)\) tel que pour tout \(f \in L^2(\Omega, \alpha)\) : \[\int_{\Omega} f(2g - 1) \,d\nu = \int_{\Omega} f(2 - g) \,d\mu.\]
Montrer que les ensembles \(S_{1l} := \{x\in\Omega, g(x) < \frac{1}{2} - \frac{1}{l}\}\) et \(S_{2l} := \{x\in \Omega, g(x) > 2 + \frac{1}{l}\}\) où \(l\in\mathbb{N}^*\) vérifient \(\mu(S_{jl}) = \nu(S_{jl}) = 0\). En déduire que l’on peut choisir la fonction \(g\) de telle manière que \(\frac{1}{2} \leq g \leq 2\). Montrer que l’ensemble \(Z = \{ x\in \Omega~: g(x) = \frac{1}{2}\}\) est de \(\mu\)-mesure \(0\).
Montrer que la fonction \[h(x) = \frac{2 - g(x)}{2g(x) - 1}\] est bien définie, positive, appartient à \(L^{1}(\Omega, \mu)\) et satisfait [radon].