L3 Théorie de la mesure, intégrale de Lebesgue Autre Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPIPrépa BCPST 4 questions

exo7 5932

Cet exercice fournit une autre méthode de calcul du volume de la boule unité Bn\mathcal{B}_{n} de Rn\mathbb{R}^{n} et de l’aire de la sphère Sn−1⊂Rn\mathcal{S}_{n-1} \subset \mathbb{R}^{n}. On conserve les notations de l’exercice précédent.

1

Montrer que Vn=In⋅Vn−1\mathcal{V}_{n} = I_{n} \cdot \mathcal{V}_{n-1}, où In=∫0π(sin⁡θ)n dθ.I_{n} = \int_{0}^{\pi} \left(\sin \theta \right)^{n} \,d\theta.

2

Vérifier que In=n−1nIn−2.I_{n} = \frac{n-1}{n} I_{n-2}.

3

Calculer Vn\mathcal{V}_{n} pour n=1,2,…,7n = 1, 2, \dots, 7.

4

Calculer An−1\mathcal{A}_{n-1} pour n=1,2,…,6n = 1, 2, \dots, 6.

Exercice YWDL

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