Cet exercice fournit une autre méthode de calcul du volume de la boule unité \(\mathcal{B}_{n}\) de \(\mathbb{R}^{n}\) et de l’aire de la sphère \(\mathcal{S}_{n-1} \subset \mathbb{R}^{n}\). On conserve les notations de l’exercice précédent.
1
Montrer que \(\mathcal{V}_{n} = I_{n} \cdot \mathcal{V}_{n-1}\), où \(I_{n} = \int_{0}^{\pi} \left(\sin \theta \right)^{n} \,d\theta.\)
2
Vérifier que \(I_{n} = \frac{n-1}{n} I_{n-2}.\)
3
Calculer \(\mathcal{V}_{n}\) pour \(n = 1, 2, \dots, 7\).
4
Calculer \(\mathcal{A}_{n-1}\) pour \(n = 1, 2, \dots, 6\).