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Pour $j = 1, 2, 3, \dots$ et $m = (m_1,\ldots,m_n) \in\mathbb{Z}^{n}$, on considère les cubes $$\Gamma_{j, m}~:= \{ x\in\mathbb{R}^n,~ 2^{-j}m_{i} < x_i \leq 2^{-j}(m_i + 1),~ i = 1, \dots, n\}.$$ Montrer que pour tout $j \in \mathbb{N}^*$, $\bigcup_{m\in\mathbb{Z}^n} \Gamma_{j, m} = \mathbb{R}^{n}$.

Pour $j\in\mathbb{N}^*$, on considère l’ensemble $\mathcal{F}_{j}$ de fonctions $\varphi$ de la forme : $$\varphi(x) = \sum_{m\in\mathbb{Z}^n} c_{j, m}\, \mathbf{1}_{\Gamma_{j, m}},$$ où les constantes $c_{j, m}\in\mathbb{Q}$ et sont nulles sauf un nombre fini. Montrer que l’ensemble $$\mathcal{F} = \bigcup_{j = 1}^{\infty} \mathcal{F}_{j}$$ est dénombrable.

Le but de cette question est de montrer que toute fonction continue à support compact peut être approchée à $\varepsilon$ près en norme $L^{p}$ par un élément de la famille $\mathcal{F}$. Soit $\tilde{f}$ une fonction continue à support compact et soit $\varepsilon>0$ fixé.

Montrer que pour tout $\varepsilon'>0$, il existe $j \in\mathbb{N}^*$, tel que $\forall m\in\mathbb{Z}^n$, $$x, y \in \Gamma_{j, m} \Rightarrow |\tilde{f}(x) - \tilde{f}(y)|< \varepsilon'.$$

Soit $\varepsilon'>0$ fixé et $j$ comme dans la question précédente. On considère la fonction $\tilde{f}_{j}$ définie par : $$\tilde{f}_{j}(x) = 2^{nj} \int_{\Gamma_{j, m}}\tilde{f}(y)\,dy \quad\text{lorsque}\quad x\in\Gamma_{j, m},$$ i.e. la valeur de $\tilde{f}_{j}$ en un point $x\in\mathbb{R}^{n}$ est la valeur moyenne de la fonction $\tilde{f}$ sur le cube $\Gamma_{j, m}$ de coté $2^{-j}$ qui contient $x$. Montrer que $\forall m\in\mathbb{Z}^n$, $$x \in \Gamma_{j, m} \Rightarrow |\tilde{f}(x) - \tilde{f}_{j}(x)|< \varepsilon',$$ et en déduire que $$\|\tilde{f} - \tilde{f}_{j}\|_p < \text{Volume}(\gamma)^{\frac{1}{p}}\cdot\varepsilon'$$ où $\gamma$ est un cube de la forme $\{x\in\mathbb{R}^{n}, -2^{J} \leq x_i \leq 2^J\}$ en dehors duquel $\tilde{f}$ est nulle.

En déduire qu’il existe $f_{j}\in\mathcal{F}_{j}$ telle que $\|\tilde{f} -f_{j}\|_{p} < \varepsilon.$ (On rappelle que les éléments de $\mathcal{F}_{j}$ ne prennent que des valeurs rationnelles.)

Montrer que toute fonction $f\in L^{p}(\mathbb{R}^{n})$, $1\leq p <+\infty$, peut être approchée à $\varepsilon$ près en norme $L^{p}$ par un élément de la famille $\mathcal{F}$. Conclure.