Définition.
On dit qu’un espace métrique \(E\) est séparable s’il existe un sous-ensemble \(\mathcal{F} \subset E\) dénombrable et dense.
Théorème L’espace \(L^p(\mathbb{R}^{n})\) est séparable pour \(1\leq p <+\infty\).
Le but de cet exercice est de démontrer ce théorème.
Pour \(j = 1, 2, 3, \dots\) et \(m = (m_1,\ldots,m_n) \in\mathbb{Z}^{n}\), on considère les cubes \[\Gamma_{j, m}~:= \{ x\in\mathbb{R}^n,~ 2^{-j}m_{i} < x_i \leq 2^{-j}(m_i + 1),~ i = 1, \dots, n\}.\] Montrer que pour tout \(j \in \mathbb{N}^*\), \(\bigcup_{m\in\mathbb{Z}^n} \Gamma_{j, m} = \mathbb{R}^{n}\).
Pour \(j\in\mathbb{N}^*\), on considère l’ensemble \(\mathcal{F}_{j}\) de fonctions \(\varphi\) de la forme : \[\varphi(x) = \sum_{m\in\mathbb{Z}^n} c_{j, m}\, \mathbf{1}_{\Gamma_{j, m}},\] où les constantes \(c_{j, m}\in\mathbb{Q}\) et sont nulles sauf un nombre fini. Montrer que l’ensemble \[\mathcal{F} = \bigcup_{j = 1}^{\infty} \mathcal{F}_{j}\] est dénombrable.
Montrer que pour tout \(\varepsilon'>0\), il existe \(j \in\mathbb{N}^*\), tel que \(\forall m\in\mathbb{Z}^n\), \[x, y \in \Gamma_{j, m} \Rightarrow |\tilde{f}(x) - \tilde{f}(y)|< \varepsilon'.\]
Soit \(\varepsilon'>0\) fixé et \(j\) comme dans la question précédente. On considère la fonction \(\tilde{f}_{j}\) définie par : \[\tilde{f}_{j}(x) = 2^{nj} \int_{\Gamma_{j, m}}\tilde{f}(y)\,dy \quad\text{lorsque}\quad x\in\Gamma_{j, m},\] i.e. la valeur de \(\tilde{f}_{j}\) en un point \(x\in\mathbb{R}^{n}\) est la valeur moyenne de la fonction \(\tilde{f}\) sur le cube \(\Gamma_{j, m}\) de coté \(2^{-j}\) qui contient \(x\). Montrer que \(\forall m\in\mathbb{Z}^n\), \[x \in \Gamma_{j, m} \Rightarrow |\tilde{f}(x) - \tilde{f}_{j}(x)|< \varepsilon',\] et en déduire que \[\|\tilde{f} - \tilde{f}_{j}\|_p < \text{Volume}(\gamma)^{\frac{1}{p}}\cdot\varepsilon'\] où \(\gamma\) est un cube de la forme \(\{x\in\mathbb{R}^{n}, -2^{J} \leq x_i \leq 2^J\}\) en dehors duquel \(\tilde{f}\) est nulle.
En d\'eduire qu'il existe $f_{j}\in\mathcal{F}_{j}$ telle que $\|\tilde{f} -f_{j}\|_{p} < \varepsilon.$ (On rappelle que les \'el\'ements de $\mathcal{F}_{j}$ ne prennent que des valeurs rationnelles.)
Montrer que toute fonction \(f\in L^{p}(\mathbb{R}^{n})\), \(1\leq p <+\infty\), peut être approchée à \(\varepsilon\) près en norme \(L^{p}\) par un élément de la famille \(\mathcal{F}\). Conclure.