Calculer \(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,dx\).
Indication : On pourra d’abord calculer
\(\int_{\mathbb{R}^{2}} e^{-(x^2 + y^2)}\, dx dy\) en passant en
coordonnées polaires.
Calcul de l’aire de la sphère unité de \(\mathbb{R}^{n}\). Soit \(\mathcal{S}_{n-1} = \{(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n ,\, \sum_{i=1}^{n} x_{i}^2 = 1 \}\) la sphère unité de \(\mathbb{R}^{n}\). On note \(\mathcal{A}_{n-1}\) son aire. Calculer \[\int_{\mathbb{R}^n} e^{-\sum_{i=1}^{n} x_{i}^2} \,dx_{1}\dots dx_{n}\] en fonction de \(\mathcal{A}_{n-1}\). En déduire l’expression de \(\mathcal{A}_{n-1}\) en fonction de la fonction \(\Gamma\) : \[\Gamma(s) := \int_{0}^{+\infty} x^{s-1} e^{-x}\,dx.\]
Calcul du volume de la boule unité de \(\mathbb{R}^{n}\). Soit \(\mathcal{B}_{n} = \{(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n ,\, \sum_{i=1}^{n} x_{i}^2 \leq 1 \}\) la boule fermée de rayon 1 dans \(\mathbb{R}^n\). On note \(\mathcal{V}_{n}\) son volume. Montrer que \(\mathcal{V}_{n} = \frac{\mathcal{A}_{n-1}}{n}\). En déduire que : \[\mathcal{V}_{n} = \frac{{\pi}^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1 \right)}.\]
Application : Que vaut l’aire de la sphère de rayon \(R\) dans \(\mathbb{R}^2\)? \(\mathbb{R}^3\)? Que vaut le volume de la boule de rayon \(R\) dans \(\mathbb{R}\)? \(\mathbb{R}^{2}\)? \(\mathbb{R}^{3}\)?