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Calculer $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,dx$.
Indication : On pourra d’abord calculer $\int_{\mathbb{R}^{2}} e^{-(x^2 + y^2)}\, dx dy$ en passant en coordonnées polaires.

Calcul de l’aire de la sphère unité de $\mathbb{R}^{n}$. Soit $\mathcal{S}_{n-1} = \{(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n ,\, \sum_{i=1}^{n} x_{i}^2 = 1 \}$ la sphère unité de $\mathbb{R}^{n}$. On note $\mathcal{A}_{n-1}$ son aire. Calculer $$\int_{\mathbb{R}^n} e^{-\sum_{i=1}^{n} x_{i}^2} \,dx_{1}\dots dx_{n}$$ en fonction de $\mathcal{A}_{n-1}$. En déduire l’expression de $\mathcal{A}_{n-1}$ en fonction de la fonction $\Gamma$ : $$\Gamma(s) := \int_{0}^{+\infty} x^{s-1} e^{-x}\,dx.$$

Calcul du volume de la boule unité de $\mathbb{R}^{n}$. Soit $\mathcal{B}_{n} = \{(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n ,\, \sum_{i=1}^{n} x_{i}^2 \leq 1 \}$ la boule fermée de rayon 1 dans $\mathbb{R}^n$. On note $\mathcal{V}_{n}$ son volume. Montrer que $\mathcal{V}_{n} = \frac{\mathcal{A}_{n-1}}{n}$. En déduire que : $$\mathcal{V}_{n} = \frac{{\pi}^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1 \right)}.$$

Application : Que vaut l’aire de la sphère de rayon $R$ dans $\mathbb{R}^2$? $\mathbb{R}^3$? Que vaut le volume de la boule de rayon $R$ dans $\mathbb{R}$? $\mathbb{R}^{2}$? $\mathbb{R}^{3}$?