[exo:beta]
1
On définit la fonction Bêta par \(B(a,b):=\int_{0}^{1}s^{a-1}(1-s)^{b-1}ds\), montrer que
\[B\left(1+\frac{d}{2},\frac{m}{2}\right) = 2\int_{0}^{1}\left(
1-r^{2}\right) ^{d/2}r^{m-1}dr\]
2
Démontrer que \(\displaystyle B(a,b)=\frac{\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b)}\).
3
Calculer \(\int_{\mathbb{R}^{n}} \frac{1}{\left( 1 + |x|^2\right)^{\alpha}}\,dx\) en fonction de la fonction Bêta.