Posons $I = \int_{\mathbb{R}^3} \frac{g(|y|)}{|x - y|}\,dy,$ et $r = |x|$ , $s = |y|$ . Alors $|x - y| = \sqrt{r^2 + s^2 -2 rs \cos\theta}$ où $\theta$ est l’angle entre l’axe $(Ox)$ et l’axe $(Oy)$ . On considére les coordonnées sphériques de centre $O$ et d’axe $(Ox)$ suivantes : $\begin{array}{lcl} y_1 &=& s \cos\theta\\ y_2 & = & s \sin\theta \cos\varphi\\ y_3 & = & s\sin\theta \sin\varphi \end{array}$ On a $I = \int_{s=0}^{+\infty}\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{\varphi=0}^{2\pi} \frac{g(s)}{\sqrt{r^2 + s^2 - 2rs\cos\theta}} s^2 \sin\theta\,ds d\theta d\varphi.$ On note que $\frac{\sin\theta}{\sqrt{r^2 + s^2 - 2rs\cos\theta}} = \frac{d}{d\theta}\frac{1}{rs} \sqrt{r^2 + s^2 - 2rs\cos\theta}.$ Ainsi : $\begin{array}{lcl} I &=& 2\pi \int_{s=0}^{+\infty}\left[\frac{1}{rs} \sqrt{r^2 + s^2 - 2rs\cos\theta} \right]_{\theta = 0}^{\pi} g(s)s^2 \,ds\\ & = & 2\pi \int_{s=0}^{+\infty} \frac{1}{rs} \left(\sqrt{(r+s)^2} - \sqrt{(r-s)^2} \right) g(s) s^2 \,ds. \end{array}$ Lorsque $s\leq r$ , on a $\sqrt{(r+s)^2} - \sqrt{(r-s)^2} = (r+s)-(r-s) = 2s,$ et lorsque $s>r$ , il vient $\sqrt{(r+s)^2} - \sqrt{(r-s)^2} = (r+s)-(s-r) = 2r.$ On en déduit alors : $I = \frac{4\pi}{r}\int_{0}^{r} g(s) s^2\,ds + 4\pi\int_{r}^{+\infty} g(s) s\,ds.$

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