Soit \(g\) une fonction sur \(\mathbb{R}^+\) et \(f~:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}\) telle que \(f(x) = g(|x|)\), où \(|x|\) désigne la norme de \(x\) dans \(\mathbb{R}^3\).
1
Montrer que pour \(r = |x|\), on a \[\int_{\mathbb{R}^3} \frac{f(y)}{|x - y|}\,dy = 4\pi \frac{1}{r}\int_{0}^{r} g(s) s^2\,ds + 4\pi\int_{r}^{+\infty} g(s) s\,ds.\]
2
Que peut-on en déduire pour une distribution de masse \(f(x) = g(|x|)\) lorsque \(g\) est à support dans \([0, R]\) ?