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Définition. Soit $h\in \mathbb{R}^{n}$ . On définit l’opérateur de translation par $h$ , noté $\tau_{h}$ , agissant sur une fonction $f~:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ par $\tau_{h}f(x) := f(x-h), \quad \forall x\in\mathbb{R}^n.$

Théorème.

Si $f\in L^{p}(\mathbb{R}^n)$ avec $1\leq p < +\infty$ , alors $\lim_{h\rightarrow 0}\|\tau_{h}f - f\|_{p} = 0,$ i.e. $\tau_{h}f$ tend vers $f$ dans $L^{p}(\mathbb{R}^n)$ lorsque $h$ tend vers $0$ .

Le but de cet exercice est de démontrer ce théorème. Soit $1 \leq p < +\infty$ .

Montrer que si $f$ est continue à support compact dans la boule $\mathcal{B}(0, M)$ centrée en $0$ et de rayon $M$ , et si $|h|\leq 1$ , alors $|f(x - h) - f(x)|^p \leq \mathbf{1}_{B(0, M+1)} 2^p \|f\|_{\infty}^p.$ où $\mathcal{B}(0, M+1)$ est la boule centrée en $0$ de rayon $M+1$ .

En déduire que pour $f$ continue à support compact, on a $\lim_{h\rightarrow 0}\|\tau_{h}f - f\|_{p} = 0.$

Démontrer le théorème pour une fonction quelconque dans $L^p(\mathbb{R}^n)$ , $1\leq p <+\infty$ .

Que se passe-t-il pour $p = \infty$ ?

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