Définition. Soit \(h\in \mathbb{R}^{n}\). On définit l’opérateur de translation par \(h\), noté \(\tau_{h}\), agissant sur une fonction \(f~:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) par \(\tau_{h}f(x) := f(x-h), \quad \forall x\in\mathbb{R}^n.\)
Théorème.
Si \(f\in L^{p}(\mathbb{R}^n)\) avec \(1\leq p < +\infty\), alors \(\lim_{h\rightarrow 0}\|\tau_{h}f - f\|_{p} = 0,\) i.e. \(\tau_{h}f\) tend vers \(f\) dans \(L^{p}(\mathbb{R}^n)\) lorsque \(h\) tend vers \(0\).
Le but de cet exercice est de démontrer ce théorème. Soit \(1 \leq p < +\infty\).
Montrer que si \(f\) est continue à support compact dans la boule \(\mathcal{B}(0, M)\) centrée en \(0\) et de rayon \(M\), et si \(|h|\leq 1\), alors \[|f(x - h) - f(x)|^p \leq \mathbf{1}_{B(0, M+1)} 2^p \|f\|_{\infty}^p.\] où \(\mathcal{B}(0, M+1)\) est la boule centrée en \(0\) de rayon \(M+1\).
En déduire que pour \(f\) continue à support compact, on a \[\lim_{h\rightarrow 0}\|\tau_{h}f - f\|_{p} = 0.\]
Démontrer le théorème pour une fonction quelconque dans \(L^p(\mathbb{R}^n)\), \(1\leq p <+\infty\).
Que se passe-t-il pour \(p = \infty\) ?