Calculons \(\|f\|_{2}^{2}\) pour \(d = 1\). On a \[\begin{array}{lcl} \|f\|_{2}^{2} & = & \|f^{*}\|_{2}^{2}\\ & = & 2\int_{0}^{+\infty} (4 + r^2)^{-2}\,dr \\ & = & \frac{1}{4} \int_{0}^{+\infty}(1 + s^2)^{-2}\,ds\\ & = &\frac{1}{8} \int_{\mathbb{R}} (1 + |x|^2)^{-2}\,dx = \frac{\pi}{16}, \end{array}\] où la dernière égalité découle de l’exercice [exo:beta] (question 3.) sur la fonction Bêta, car : \[\int_{\mathbb{R}} (1 + |x|^2)^{-2}\,dx = 2\mathcal{V}_1 B\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right) = 4 \frac{\Gamma(3/2)^2}{\Gamma(3)} = 4\frac{(1/2\Gamma(1/2))^2}{2!} = \frac{\pi}{2}.\]

Pour \(d = 2\), on a \[\|f\|_{2}^2 = \int_{\mathbb{R}^2} f(x)^2\,dx = \int_{r=0}^{+\infty}\int_{\theta=0}^{2\pi} h(r)^2 \,r dr d\theta = 2\pi \int_{0}^{+\infty} r^5 (1+r^2)^{-4}\,dr = \frac{\pi}{3},\] où la dernière égalité découle de l’exercice [exo:beta] sur la fonction Bêta, car : \[\int_{\mathbb{R}^2} (1 + |x|^2)^{-4}\,dx = 4\mathcal{V}_{6} B\left(4 - \frac{6}{2}, \frac{6}{2} + 1\right) = 4 \mathcal{V}_{6} B\left(1, 4\right),\] et \[\int_{\mathbb{R}^2} (1 + |x|^2)^{-4}\,dx = \int_{r = 0}^{+\infty}\int_{\mathcal{S}^5} (1 + r^{2})^{-4}\, r^5 \,dr d\sigma = \mathcal{A}_{5} \int_{0}^{+\infty} (1 + r^{2})^{-4}\, r^5 \,dr\] d’où : \[\begin{array}{lcl} \int_{0}^{+\infty} (1 + r^{2})^{-4}\, r^5 \,dr & =& 4 \frac{\mathcal{V}_{6}}{\mathcal{A}_5} B\left(1, 4\right) = \frac{4}{6} \frac{\Gamma(1)\Gamma(4)}{\Gamma(5)}, = \frac{2}{3}\frac{3!}{4!} = \frac{1}{6} \end{array}\]

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