Soit $(\Omega, \Sigma, \mu)$ un espace mesuré et $f\in\mathcal{M}^+(\Omega, \Sigma)$ . Pour tout $E\in\Sigma$ , on pose : $\lambda(E) = \int_{E} f\,d\mu = \int_{\Omega} \mathbf{1}_{A}\cdot f \,d\mu.$ Montrons que $f\in\mathcal{M}^+(\Omega, \Sigma)$ définit une mesure sur $(\Omega, \Sigma)$ .
$1^{\text{ère}}$ méthode : On montre d’abord que l’affirmation est vraie pour les fonctions simples. D’après l’exercice [ex:barb20], toute fonction $\lambda(E) = \int_{E} f\,d\mu = \int_{\Omega} \mathbf{1}_{A}\cdot f \,d\mu.$ s’écrit $f = \sup_{n\in\mathbb{N}} \varphi_{n}$ , où les $\varphi_{n}$ sont des fonctions simples. Puisque le supremum d’une famille quelconque de mesure est une mesure, on conclut que $\lambda$ est une mesure.
$2^{\text{de}}$ méthode : On a clairement $\lambda(\emptyset) = 0$ . Il suffit donc de vérifier la $\sigma$ -additivité de $\lambda$ . Soit $\{E_{i}\}_{i\in\mathbb{N}}\subset\Sigma$ une suite d’éléments deux à deux disjoints. On a $\begin{aligned} \lambda\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} E_{i}\right) & = & \int_{\bigcup_{i=1}^{\infty} E_{i}} f\,d\mu = \int_{\Omega} \mathbf{1}_{\bigcup_{i=1}^{\infty} E_{i}} f\,d\mu\\ & = &\int_{\Omega} \left(\sum_{i=1}^{\infty}\mathbf{1}_{E_{i}} \right) f\,d\mu = \int_{\Omega} \sum_{i=1}^{\infty} \left( \mathbf{1}_{E_{i}} f\right) \,d\mu\\ & = & \sum_{i=1}^{\infty} \int_{\Omega} \left( \mathbf{1}_{E_{i}} f\right) d\mu = \sum_{i=1}^{\infty} \int_{E_{i}} f\,d\mu \\ & = & \sum_{i=1}^{\infty} \lambda(E_{i}). \end{aligned}$

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