exo7 5936

Soit $(\Omega, \Sigma)$ un espace mesurable. On dit que $\varphi~:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ est une fonction simple ou étagée si $\varphi$ est mesurable et ne prend qu’un nombre fini de valeurs, i.e. si $\varphi$ s’écrit : $$\varphi = \sum_{j \in J} c_{j} \mathbf{1}_{E_{j}},$$ où $J$ est un ensemble fini, les ensembles $E_{j}$ sont mesurables et où, pour $i\neq j$, $c_{i} \neq c_{j}$ et $E_{i}\cap E_{j} = \emptyset$. Soit $\varphi$ une fonction simple positive. On rappelle que l’intégrale de $\varphi$ par rapport à une mesure $\mu$ est définie par : $$\int_{\Omega} \varphi \,d\mu = \int_{0}^{\infty} \mu\left(S_{\varphi}(t) \right)\,dt,$$ où $S_{\varphi}(t) = \{x\in \Omega, \varphi(x)>t\}$.