[ex:barb20] Soit \((\Omega, \Sigma)\) un espace mesurable. On dit que \(\varphi~:\Omega \rightarrow \mathbb{R}\) est une fonction simple ou étagée si \(\varphi\) est mesurable et ne prend qu’un nombre fini de valeurs, i.e. si \(\varphi\) s’écrit : \[\varphi = \sum_{j \in J} c_{j} \mathbf{1}_{E_{j}},\] où \(J\) est un ensemble fini, les ensembles \(E_{j}\) sont mesurables et où, pour \(i\neq j\), \(c_{i} \neq c_{j}\) et \(E_{i}\cap E_{j} = \emptyset\). Soit \(\varphi\) une fonction simple positive. On rappelle que l’intégrale de \(\varphi\) par rapport à une mesure \(\mu\) est définie par : \[\int_{\Omega} \varphi \,d\mu = \int_{0}^{\infty} \mu\left(S_{\varphi}(t) \right)\,dt,\] où \(S_{\varphi}(t) = \{x\in \Omega, \varphi(x)>t\}\).
Montrer que \[\int_{\Omega} \varphi \,d\mu = \sum_{j \in J} c_{j} \mu(E_{j}).\]
Montrer que pour toute fonction réelle mesurable positive, \(f \in \mathcal{M}^{+}(\Omega, \Sigma)\), il existe une suite \(\{\varphi_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\) de fonctions simples positives telle que :
[(a)] \(0 \leq \varphi_{n}(x) \leq \varphi_{n+1}(x)\) pour tout \(x\in\Omega\) et pour tout \(n\in\mathbb{N}\) ;
[(b)] \(\lim_{n\rightarrow +\infty} \varphi_{n}(x) = f(x)\) pour tout \(x\in\Omega\).