Soit $\Omega = \mathbb{N}$ , $\Sigma = \mathcal{P}(\mathbb{N})$ et $\mu$ la mesure de comptage sur $\mathbb{N}$ définie par : $\mu(E) = \sharp E = \sum_{k \in E} 1,$ où $E\in \Sigma$ . Soit $f~:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction positive ou nulle. Pour tout borélien $E$ , $f^{-1}(E)$ appartient à $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ , donc $f$ est ( $\Sigma$ - $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ )-mesurable. Par définition de l’intégrale, $\int_{\Omega} f d\mu = \int_{0}^{\infty} \mu\left(S_{f}(t)\right)\,dt,$ où $S_{f}(t) = \{n\in\Sigma, \,f(n)>t\}$ . Pour tout $y\in[0,+\infty[$ , posons $A_{y} := \{n\in\mathbb{N},\, f(n) = y\}$ . Alors $S_{f}(t) = \cup_{y > t}A_{y}$ où l’union est disjointe et où $A_y$ est vide sauf pour un ensemble dénombrable $\{y_{i}\}_{i\in\mathbb{N}}$ de valeurs de $y$ . Par $\sigma$ -additivité de la mesure $\mu$ , $\mu\left(S_{f}(t)\right) = \mu\left(\cup_{y_i > t} A_{y_{i}} \right) = \sum_{y_i > t} \mu\left(A_{y_{i}}\right) = \sum_{y_i > t}\mu\left(\{f = y_i \}\right).$ Ainsi : $\begin{aligned} \int_{\Omega} f d\mu & =& \int_{0}^{\infty}\sum_{y_i > t} \mu\left(\{f = y_i \}\right)\,dt = \sum_{i=0}^{\infty} \int_{0\leq t<y_{i}}\mu\left(\{f = y_i \}\right)\,dt \\&=& \sum_{i=0}^{\infty} y_i \cdot \mu\left(\{f = y_i \}\right) = \sum_{i=0}^{\infty} y_{i}\cdot\sharp\{n\in\mathbb{N}, f(n) = y_{i}\} = \sum_{n=0}^{\infty} f(n). \end{aligned}$

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