Montrons que \([a, b] =\bigcap_{n=1}^{\infty} ]a-\frac{1}{n}, b+\frac{1}{n}[\).

Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a \([a, b] \subset\, ]a-\frac{1}{n}, b+\frac{1}{n}[\). Donc \([a, b]\subset\bigcap_{n=1}^{\infty} ]a-\frac{1}{n}, b+\frac{1}{n}[\). Soit \(x\in \bigcap_{n=1}^{\infty} ]a-\frac{1}{n}, b+\frac{1}{n}[\). Alors pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a : \[a-\frac{1}{n} < x < b+\frac{1}{n}.\] Ainsi \[\lim_{n\rightarrow+\infty}(a-\frac{1}{n})\leq x \leq \lim_{n\rightarrow+\infty}(b+\frac{1}{n}),\] c’est-à-dire \(x\in[a, b]\). Donc \(\bigcap_{n=1}^{\infty} ]a-\frac{1}{n}, b+\frac{1}{n}[ \subset [a, b]\) et on a démontré l’égalité entre ces deux ensembles.

Montrons que \(]a, b[ = \bigcup_{n=1}^{\infty} [a+ \frac{1}{n}, b-\frac{1}{n}]\).

Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a \([a+ \frac{1}{n}, b-\frac{1}{n}]\subset ]a,b[\), donc \(\bigcup_{n=1}^{\infty} [a+ \frac{1}{n}, b-\frac{1}{n}]\subset]a,b[\). Soit \(x\in\bigcup_{n=1}^{\infty} [a+ \frac{1}{n}, b-\frac{1}{n}]\). Alors il existe \(n\in\mathbb{N}\) tel que \(x\in[a+ \frac{1}{n}, b-\frac{1}{n}]\). Ainsi \(x\in]a, b[\) et \(\bigcup_{n=1}^{\infty} [a+ \frac{1}{n}, b-\frac{1}{n}] \subset ]a, b[\), d’où l’égalité de ces deux ensembles.

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