Montrons que $[a, b] =\bigcap_{n=1}^{\infty} ]a-\frac{1}{n}, b+\frac{1}{n}[$ .

Pour tout $n\in\mathbb{N}$ , on a $[a, b] \subset\, ]a-\frac{1}{n}, b+\frac{1}{n}[$ . Donc $[a, b]\subset\bigcap_{n=1}^{\infty} ]a-\frac{1}{n}, b+\frac{1}{n}[$ .
Soit $x\in \bigcap_{n=1}^{\infty} ]a-\frac{1}{n}, b+\frac{1}{n}[$ . Alors pour tout $n\in\mathbb{N}$ , on a : $a-\frac{1}{n} < x < b+\frac{1}{n}.$ Ainsi $\lim_{n\rightarrow+\infty}(a-\frac{1}{n})\leq x \leq \lim_{n\rightarrow+\infty}(b+\frac{1}{n}),$ c’est-à-dire $x\in[a, b]$ . Donc $\bigcap_{n=1}^{\infty} ]a-\frac{1}{n}, b+\frac{1}{n}[ \subset [a, b]$ et on a démontré l’égalité entre ces deux ensembles.

Montrons que $]a, b[ = \bigcup_{n=1}^{\infty} [a+ \frac{1}{n}, b-\frac{1}{n}]$ .

Pour tout $n\in\mathbb{N}$ , on a $[a+ \frac{1}{n}, b-\frac{1}{n}]\subset ]a,b[$ , donc $\bigcup_{n=1}^{\infty} [a+ \frac{1}{n}, b-\frac{1}{n}]\subset]a,b[$ .
Soit $x\in\bigcup_{n=1}^{\infty} [a+ \frac{1}{n}, b-\frac{1}{n}]$ . Alors il existe $n\in\mathbb{N}$ tel que $x\in[a+ \frac{1}{n}, b-\frac{1}{n}]$ . Ainsi $x\in]a, b[$ et $\bigcup_{n=1}^{\infty} [a+ \frac{1}{n}, b-\frac{1}{n}] \subset ]a, b[$ , d’où l’égalité de ces deux ensembles.

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