Soit \(p>0\). Soit \(f~:\mathbb{R}^n \rightarrow\mathbb{R}^+\) la fonction définie par \[f(x) = |x|^{-p} \mathbf{1}_{\{|x|<1\}}(x).\] Calculer l’intégrale de \(f\) par rapport à la mesure de Lebesgue de \(\mathbb{R}^n\) de deux manières différentes :
1
[(i)] En utilisant les coordonnées polaires et les méthodes standard de calcul d’intégrales ;
2
[(ii)] En calculant la mesure des ensembles \(S_{f}(a) = \{x\in\Omega, f(x)>a\}\) et la définition de l’intégrale de Lebesgue.