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Soit $p>0$ . Soit $f~:\mathbb{R}^n \rightarrow\mathbb{R}^+$ la fonction définie par $f(x) = |x|^{-p} \mathbf{1}_{\{|x|<1\}}(x).$ Calculer l’intégrale de $f$ par rapport à la mesure de Lebesgue de $\mathbb{R}^n$ de deux manières différentes :

[(i)] En utilisant les coordonnées polaires et les méthodes standard de calcul d’intégrales ;

[(ii)] En calculant la mesure des ensembles $S_{f}(a) = \{x\in\Omega, f(x)>a\}$ et la définition de l’intégrale de Lebesgue.