L3 Théorie de la mesure, intégrale de Lebesgue Théorème de convergence dominée Prépa MP · MPI 3 questions

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On rappelle qu’une fonction f :Ω→Rf~:\Omega \rightarrow \mathbb{R} est dite intégrable si f+:=max⁡{f,0}f_{+} := \max\{f, 0\} et f−=max⁡{−f,0}f_{-} = \max\{-f, 0\} vérifient ∫Ωf+ dμ < +∞\int_{\Omega} f_{+} \,d\mu ~<~+\infty et ∫Ωf− dμ < +∞\int_{\Omega} f_{-} \,d\mu ~<~+\infty. On note L1(Ω,Σ,μ)\mathcal{L}^{1}(\Omega, \Sigma, \mu) l’ensemble des fonctions réelles intégrables. Pour f∈L1(Ω,Σ,μ)f\in \mathcal{L}^{1}(\Omega, \Sigma, \mu), on pose ∫Ωf dμ=∫Ωf+ dμ−∫Ωf− dμ.\int_{\Omega} f\,d\mu = \int_{\Omega} f_{+}\,d\mu - \int_{\Omega} f_{-}\,d\mu.

1

Montrer l’équivalence f∈L1(Ω,Σ,μ)⇔∣f∣∈L1(Ω,Σ,μ)f\in \mathcal{L}^{1}(\Omega, \Sigma, \mu) \Leftrightarrow |f| \in \mathcal{L}^{1}(\Omega, \Sigma, \mu) et ∣∫Ωf dμ∣ ≤ ∫Ω∣f∣ dμ.\begin{equation}\label{leq} \left|\int_{\Omega} f\,d\mu \right|~\leq~ \int_{\Omega} |f|\,d\mu. \end{equation}

2

Montrer que si ff est mesurable, gg intégrable et ∣f∣ ≤∣g∣|f|~\leq |g|, alors ff est intégrable et ∫Ω∣f∣ dμ ≤ ∫Ω∣g∣ dμ.\int_{\Omega} |f|\,d\mu ~\leq~\int_{\Omega} |g|\,d\mu.

3

On rappelle qu’une fonction f :Ω→Cf~:\Omega \rightarrow \mathbb{C} est dite intégrable si la partie réelle Ref\text{Re} f et la partie imaginaire Imf\text{Im} f de ff sont intégrables. On pose alors ∫Ωf dμ=∫ΩRef dμ+i∫ΩImf dμ.\int_{\Omega} f\,d\mu = \int_{\Omega}\text{Re} f\,d\mu + i \int_{\Omega}\text{Im} f\,d\mu. Montrer que l’inégalité [leq] est vérifiée.

Exercice 4rXe

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