On rappelle qu’une fonction \(f~:\Omega \rightarrow \mathbb{R}\) est dite intégrable si \(f_{+} := \max\{f, 0\}\) et \(f_{-} = \max\{-f, 0\}\) vérifient \(\int_{\Omega} f_{+} \,d\mu ~<~+\infty\) et \(\int_{\Omega} f_{-} \,d\mu ~<~+\infty\). On note \(\mathcal{L}^{1}(\Omega, \Sigma, \mu)\) l’ensemble des fonctions réelles intégrables. Pour \(f\in \mathcal{L}^{1}(\Omega, \Sigma, \mu)\), on pose \[\int_{\Omega} f\,d\mu = \int_{\Omega} f_{+}\,d\mu - \int_{\Omega} f_{-}\,d\mu.\]
Montrer l’équivalence \[f\in \mathcal{L}^{1}(\Omega, \Sigma, \mu) \Leftrightarrow |f| \in \mathcal{L}^{1}(\Omega, \Sigma, \mu)\] et \[\begin{equation}\label{leq} \left|\int_{\Omega} f\,d\mu \right|~\leq~ \int_{\Omega} |f|\,d\mu. \end{equation}\]
Montrer que si \(f\) est mesurable, \(g\) intégrable et \(|f|~\leq |g|\), alors \(f\) est intégrable et \[\int_{\Omega} |f|\,d\mu ~\leq~\int_{\Omega} |g|\,d\mu.\]
On rappelle qu’une fonction \(f~:\Omega \rightarrow \mathbb{C}\) est dite intégrable si la partie réelle \(\text{Re} f\) et la partie imaginaire \(\text{Im} f\) de \(f\) sont intégrables. On pose alors \[\int_{\Omega} f\,d\mu = \int_{\Omega}\text{Re} f\,d\mu + i \int_{\Omega}\text{Im} f\,d\mu.\] Montrer que l’inégalité [leq] est vérifiée.