[derivation]
Montrer le théorème suivant, \(\Omega\) étant un espace mesurable.
(On pourra utiliser le théorème des accroissements finis.)
Théorème.(Dérivation sous le signe \(\int\))
Soit \(f~:\Omega \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}\) une
fonction telle que
1
[(i)] Pour tout \(s\in[s_{1}, s_{2}]\), la fonction \(x\mapsto f(x, s)\) est intégrable ;
2
[(ii)] pour presque tout \(x\), la fonction \(s\mapsto f(x, s)\) est dérivable sur \((s_1, s_2)\) ;
3
[(ii)] il existe \(g\in \mathcal{L}^1(\Omega, \mathbb{R}^{+})\) tel que pour tout \(s \in [s_1, s_2]\) et pour presque tout \(x\in\Omega\) on ait \(|\frac{\partial f(x,s)}{\partial s}| \leq g(x)\) .