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Montrer le théorème suivant, $\Omega$ étant un espace mesurable. (On pourra utiliser le théorème des accroissements finis.)
Théorème.(Dérivation sous le signe $\int$ )
Soit $f~:\Omega \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$ une fonction telle que

[(i)] Pour tout $s\in[s_{1}, s_{2}]$ , la fonction $x\mapsto f(x, s)$ est intégrable ;

[(ii)] pour presque tout $x$ , la fonction $s\mapsto f(x, s)$ est dérivable sur $(s_1, s_2)$ ;

[(ii)] il existe $g\in \mathcal{L}^1(\Omega, \mathbb{R}^{+})$ tel que pour tout $s \in [s_1, s_2]$ et pour presque tout $x\in\Omega$ on ait $|\frac{\partial f(x,s)}{\partial s}| \leq g(x)$ .

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