Pour tout $x\in \mathbb{R}_+$ et $n\in \mathbb{N}$ on a $\left(1-\frac{x}{n}\right)^n \leq e^{-x}.$ En effet, comme $\ln y\leq y-1$ pour $y>0$ , on a $\ln y^{-\frac{1}{n}}\leq y^{-\frac{1}{n}}-1$ , c’est-à-dire $\left(1 - \frac{\ln y}{n} \right)^{n} \leq y^{-1}$ . Ainsi, en posant $x = \ln y$ , il vient $\left(1-\frac{x}{n}\right)^n \leq e^{-x}$ . De plus, $\lim_{n\rightarrow+\infty} \left(1-\frac{x}{n} \right)^{n} = \lim_{n\rightarrow+\infty}e^{n\ln\left(1-\frac{x}{n} \right)} = \lim_{n\rightarrow+\infty}e^{n\left(-\frac{x}{n} + \frac{x}{n}\varepsilon\left(\frac{x}{n} \right) \right)},$ où $\lim_{u\rightarrow 0}\varepsilon(u) = 0$ . Ainsi $\lim_{n\rightarrow+\infty} \left(1-\frac{x}{n} \right)^{n} = e^{-x}$ .

Posons $f_n(x)=\left(1-\frac{x}{n}\right)^n x^m\mathbf{1}_{[0,n]}$ . Alors en utilisant le théorème de convergence dominée et sachant que $\Gamma(m+1)=\int\limits_0^\infty e^{-x}x^m dx =m!$ , on obtient le résultat.

exo7 5951