L3 Théorie de la mesure, intégrale de Lebesgue Théorème de convergence dominée 3 questions

exo7 5953

Soit  f∈L1(R)f\in \mathcal{L}^{1}(\Rr ). Sa transformée de Fourier est la fonction  f^:R→C\hat{f}:\Rr \rightarrow \Cc   définie par f^(y):=∫Re−ixyf(x)dx,\hat{f}(y):=\int_{\Rr }\text{e}^{-ixy}f(x)dx, montrer que

1

f^\hat{f}  est continue,

2

f^\hat{f}  est bornée et  sup⁡∣f^∣≤∥f∥L1\sup |\hat{f}|\leq \left\| f\right\| _{L^{1}}  (=∫R∣f(x)∣dx\int_{\Rr }\left| f(x)\right| dx),

3

Si x→xf(x)x \to xf(x) est intégrable, alors f^\hat{f}  est dérivable et on a ddy f^ =−ixf(x)^.\frac{d}{dy}\ \hat{f}\ =\widehat{-ixf(x)}.

Exercice 1P7g

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