Soit \(f\in \mathcal{L}^{1}(\Rr )\). Sa transformée de Fourier est la fonction \(\hat{f}:\Rr \rightarrow \Cc\) définie par \[\hat{f}(y):=\int_{\Rr }\text{e}^{-ixy}f(x)dx,\] montrer que
1
\(\hat{f}\) est continue,
2
\(\hat{f}\) est bornée et \(\sup |\hat{f}|\leq \left\| f\right\| _{L^{1}}\) (=\(\int_{\Rr }\left| f(x)\right| dx\)),
3
Si \(x \to xf(x)\) est intégrable, alors \(\hat{f}\) est dérivable et on a \[\frac{d}{dy}\ \hat{f}\ =\widehat{-ixf(x)}.\]