Il faut alors vérifier que la série entière associée à la suite $(b_n)_{n\in\Nn}$ a un rayon de convergence strictement positif .

Soit $R > 0$ le rayon de la série associée à la suite $(a_n)_{n\in\Nn}$ et soit $r$ un réel tel que $0 < r < R$ .

On sait que la suite $(a_nr^n)_{n\in\Nn}$ est bornée et il existe $M > 0$ tel que pour tout entier naturel $n$ , $|a_n|\leqslant\frac{M}{r^n}$ .

$b_0 = 1$ puis $|b_1| = |-a_1b_0|\leqslant\frac{M}{r}$ puis $|b_2|=|-a_2b_0-a_1b_1|\leqslant\frac{M}{r^2}+\frac{M}{r}\times\frac{M}{r}=\frac{M(M+1)}{r^2}$ puis

$|b_3| =|-a_3b_0-a_2b_1-a_1b_2|\leqslant\frac{M}{r^3}+\frac{M}{r^2}\times+\frac{M}{r}+\frac{M}{r}\times\frac{M(M+1)}{r^2}=\frac{M(M^2+2M+1)}{r^3}=\frac{M(M+1)^2}{r^3}$ .

Montrons alors par récurrence que $\forall n\in\Nn^*$ , $b_n|\leqslant\frac{M(M+1)^{n-1}}{r^n}$ .

C’est vrai pour $n=1$ .

Soit $n\geqslant1$ , supposons que $\forall k\in\llbracket1,n\rrbracket$ , $|b_k|\leqslant\frac{M(M+1)^{k-1}}{r^k}$ . Alors

$\begin{align*}\ensuremath \left|b_{n+1}\right|&\leqslant|-a_{n+1}b_0| +|-a_nb_1| + ...+ |-a_1b_n|\leqslant\frac{M}{r^{n+1}}+\sum_{k=1}^{n}\frac{M(M+1)^{k-1}}{r^k}\times\frac{M}{r^{n+1-k}}\\ &=\frac{M}{r^{n+1}}\left(1+ M\sum_{k=1}^{n}(M+1)^{k-1}\right)=\frac{M}{r^{n+1}}\left(1+ M\frac{(M+1)^n-1}{(M+1)-1}\right)=\frac{M(M+1)^n}{r^{n+1}}. \end{align*}$

On a montré par récurrence que pour tout entier naturel non nul $n$ , $|b_n|\leqslant\frac{M(M+1)^n}{r^{n+1}}$ . En particulier , le rayon $R'$ de la série entière associée à la suite $(b_n)_{n\in\Nn}$ vérifie $R'\geqslant\frac{r}{M+1}> 0$ . Ceci valide les calculs initiaux sur $]-\rho,\rho[$ où $\rho=\text{Min}(R,R')>0$ et donc l’inverse d’une fonction $f$ développable en série entière à l’origine et telle que $f(0)\neq0$ est développable en série entière à l’origine.

exo7 5750