Il faut alors vérifier que la série entière associée à la suite \((b_n)_{n\in\Nn}\) a un rayon de convergence strictement positif .

Soit \(R > 0\) le rayon de la série associée à la suite \((a_n)_{n\in\Nn}\) et soit \(r\) un réel tel que \(0 < r < R\).

On sait que la suite \((a_nr^n)_{n\in\Nn}\) est bornée et il existe \(M > 0\) tel que pour tout entier naturel \(n\), \(|a_n|\leqslant\frac{M}{r^n}\).

\(b_0 = 1\) puis \(|b_1| = |-a_1b_0|\leqslant\frac{M}{r}\) puis \(|b_2|=|-a_2b_0-a_1b_1|\leqslant\frac{M}{r^2}+\frac{M}{r}\times\frac{M}{r}=\frac{M(M+1)}{r^2}\) puis

\(|b_3| =|-a_3b_0-a_2b_1-a_1b_2|\leqslant\frac{M}{r^3}+\frac{M}{r^2}\times+\frac{M}{r}+\frac{M}{r}\times\frac{M(M+1)}{r^2}=\frac{M(M^2+2M+1)}{r^3}=\frac{M(M+1)^2}{r^3}\).

Montrons alors par récurrence que \(\forall n\in\Nn^*\), \(b_n|\leqslant\frac{M(M+1)^{n-1}}{r^n}\).

C’est vrai pour \(n=1\).

Soit \(n\geqslant1\), supposons que \(\forall k\in\llbracket1,n\rrbracket\), \(|b_k|\leqslant\frac{M(M+1)^{k-1}}{r^k}\). Alors

\[\begin{align*}\ensuremath \left|b_{n+1}\right|&\leqslant|-a_{n+1}b_0| +|-a_nb_1| + ...+ |-a_1b_n|\leqslant\frac{M}{r^{n+1}}+\sum_{k=1}^{n}\frac{M(M+1)^{k-1}}{r^k}\times\frac{M}{r^{n+1-k}}\\ &=\frac{M}{r^{n+1}}\left(1+ M\sum_{k=1}^{n}(M+1)^{k-1}\right)=\frac{M}{r^{n+1}}\left(1+ M\frac{(M+1)^n-1}{(M+1)-1}\right)=\frac{M(M+1)^n}{r^{n+1}}. \end{align*}\]

On a montré par récurrence que pour tout entier naturel non nul \(n\), \(|b_n|\leqslant\frac{M(M+1)^n}{r^{n+1}}\). En particulier , le rayon \(R'\) de la série entière associée à la suite \((b_n)_{n\in\Nn}\) vérifie \(R'\geqslant\frac{r}{M+1}> 0\). Ceci valide les calculs initiaux sur \(]-\rho,\rho[\) où \(\rho=\text{Min}(R,R')>0\) et donc l’inverse d’une fonction \(f\) développable en série entière à l’origine et telle que \(f(0)\neq0\) est développable en série entière à l’origine.

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