On sait que la série converge sur l’intervalle \(]-R;R[ = ]-1;1[\). Il reste à étudier le cas où \(x=-1\) et \(x=1\).

Or \(u_n(-1) = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+1}(-1)^n = \frac{1}{\sqrt{n}+1}\). La série \(\sum u_n(-1)\) est donc une série à termes positifs et le terme général est équivalent à \(\frac{1}{\sqrt{n}}\), qui est le terme général d’une série de Riemann divergente (\(\alpha = 1/2 < 1\)). Donc la série \(\sum u_n(-1)\) diverge. (Correction: \(u_n(-1) = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+1}(-1)^n = \frac{1}{\sqrt{n}+1}\). L’énoncé original contenait une petite erreur dans la transcription de \(u_n(-1)\) en \(\sum \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}\), il s’agit de \(\frac{1}{\sqrt{n}+1} \sim \frac{1}{\sqrt{n}}\).)

De plus, \(u_n(1) = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+1}\). On pose \(a_n = \frac{1}{\sqrt{n}+1} >0\) pour tout \(n \geq 1\). Donc \(u_n(1)\) est le terme général d’une série alternée. Or il est clair que \((a_n)\) est une suite décroissante et \(\lim\limits_{n\to+\infty} a_n = 0\) donc d’après le critère spécial des séries alternées, la série \(\sum u_n(1)\) converge.

En définitive, le domaine de convergence est \[D = ]-1;1]\]

Rayon et domaine de convergence d'une série entière