Soit \(f : \R \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^n\). On pose \(g(x) =\begin{cases}\frac {f(x)-f(0)}x &\text{ si } x \ne 0 \cr f'(0) &\text{ si } x=0. \cr\end{cases}\)
1
On suppose que \(f(x) = o (x^n)\).
2
Démontrer que : \(\forall\ p \le n,\ f^{(p)}(x) = o (x^{n-p})\), et : \(\forall\ p < n,\ g^{(p)}(x) = o (x^{n-p-1})\).
3
En déduire que \(g\) est de classe \(\mathcal{C}^{n-1}\) en \(0\).