Soit \(M (s)\) un arc \(C^2\) birégulier paramétré par une abscisse curviligne. Soit \(\mathcal{R}\) le repère de Frénet \((M (0), \vec{t} (0), \vec{n} (0))\). On note \((X (s), Y (s))\) les coordonnées dans ce repère d’un point \(M (s)\) de la courbe.
1
Montrer que si \(R_{0}\) est le rayon de courbure en \(M (0)\) alors \(R_0 = \lim\limits_{s \rightarrow 0} \dfrac{X^2 (s)}{2Y (s)}\).
2
En déduire le rayon de courbure au point \(\theta = 0\) de la courbe \(\rho (\theta) = 1 + 2\cos (\frac{\theta}2)\).