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Soit $M (s)$ un arc $C^2$ birégulier paramétré par une abscisse curviligne. Soit $\mathcal{R}$ le repère de Frénet $(M (0), \vec{t} (0), \vec{n} (0))$ . On note $(X (s), Y (s))$ les coordonnées dans ce repère d’un point $M (s)$ de la courbe.

Montrer que si $R_{0}$ est le rayon de courbure en $M (0)$ alors $R_0 = \lim\limits_{s \rightarrow 0} \dfrac{X^2 (s)}{2Y (s)}$ .

En déduire le rayon de courbure au point $\theta = 0$ de la courbe $\rho (\theta) = 1 + 2\cos (\frac{\theta}2)$ .