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Soit $E$ un ev réel de dimension finie et $f,g\in \mathcal{L}(E)$ , $\alpha\in\R^*$ tels que $f\circ g - g\circ f = \alpha f$ .

Montrer pour tout entier naturel $n$ : $f^n\circ g - g\circ f^n = \alpha n f^n$ .

Montrer qu’il existe $n\in\N$ tel que $f^n = 0$ (raisonner par l’absurde et considérer l’application $h \mapsto h\circ g - g\circ h$ de $\mathcal{L}(E)$ dans $\mathcal{L}(E)$ ).