Soit \(E\) un ev réel de dimension finie et \(f,g\in \mathcal{L}(E)\), \(\alpha\in\R^*\) tels que \(f\circ g - g\circ f = \alpha f\).
1
Montrer pour tout entier naturel \(n\) : \(f^n\circ g - g\circ f^n = \alpha n f^n\).
2
Montrer qu’il existe \(n\in\N\) tel que \(f^n = 0\) (raisonner par l’absurde et considérer l’application \(h \mapsto h\circ g - g\circ h\) de \(\mathcal{L}(E)\) dans \(\mathcal{L}(E)\)).