Soit \(P\) un plan affine et \((A,B,C)\) un repère affine. Donner la condition d’alignement de trois points en coordonnées barycentriques.
Démontrer que si \(f\) est une application linéaire orthogonale d’un espace vectoriel euclidien \(\vec{E}\) de dimension finie, alors \(Ker (f-Id_{\vec{E}})\) et \(Im (f-Id_{\vec{E}})\) sont supplémentaires orthogonaux.
Donner l’exemple d’une application affine qui n’est pas une isométrie.
Les isométries de déterminant \(-1\) dans un espace affine euclidien de dimension trois ont-elles toutes un point fixe ?
Peut-on écrire une rotation dans le plan euclidien comme composée de cinq réflexions ?
Dans l’espace affine euclidien muni d’un repère orthonormé, on considère le cube de sommets \(A(-1,-1,-1)\), \(B(-1,-1,1)\), \(C(-1,1,1)\), \(D(-1,1,-1)\), \(E(1,-1,-1)\), \(F(1,-1,1)\), \(G(1,1,1)\), \(H(1,1,-1)\). Existe-t-il une isométrie de l’espace qui envoie \(A\) sur \(B\) et \(G\) sur \(F\) ? Si oui, la déterminer.