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Soit $P$ un plan affine et $(A,B,C)$ un repère affine. Donner la condition d’alignement de trois points en coordonnées barycentriques.

Démontrer que si $f$ est une application linéaire orthogonale d’un espace vectoriel euclidien $\vec{E}$ de dimension finie, alors $Ker (f-Id_{\vec{E}})$ et $Im (f-Id_{\vec{E}})$ sont supplémentaires orthogonaux.

Donner l’exemple d’une application affine qui n’est pas une isométrie.

Les isométries de déterminant $-1$ dans un espace affine euclidien de dimension trois ont-elles toutes un point fixe ?

Peut-on écrire une rotation dans le plan euclidien comme composée de cinq réflexions ?

Dans l’espace affine euclidien muni d’un repère orthonormé, on considère le cube de sommets $A(-1,-1,-1)$, $B(-1,-1,1)$, $C(-1,1,1)$, $D(-1,1,-1)$, $E(1,-1,-1)$, $F(1,-1,1)$, $G(1,1,1)$, $H(1,1,-1)$. Existe-t-il une isométrie de l’espace qui envoie $A$ sur $B$ et $G$ sur $F$ ? Si oui, la déterminer.