En utilisant les sommes de Riemann, on sait que $\int_0^1f(x)d x$ est la limite (quand $n \to +\infty$ ) de $\frac 1n\sum_{k=0}^{n-1} f(\frac kn)$ . Notons $S_n = \frac 1n \sum_{k=0}^{n-1} f(\frac kn)$ . Alors $S_n = \frac 1n\sum_{k=0}^{n-1}\frac k{n}=\frac 1{n^2} \sum_{k=0}^{n-1} k = \frac 1{n^2} \frac{n(n-1)}{2}$ . On a utilisé que la somme des entiers de $0$ à $n-1$ vaut $\frac{n(n-1)}{2}$ . Donc $S_n$ tend vers $\frac 12$ . Donc $\int_0^1f(x)d x = \frac 12$ . Même travail : $\int_1^2 g(x) d x$ est la limite de $S'_n = \frac {2-1} n\sum_{k=0}^{n-1} g(1+ k\frac {2-1}n) = \frac 1 n \sum_{k=0}^{n-1} (1+ \frac kn)^2 = \frac 1 n \sum_{k=0}^{n-1} (1+ 2\frac k n + \frac {k^2}{n^2})$ . En séparant la somme en trois nous obtenons : $S'_n = \frac 1n (n+\frac 2 n\sum_{k=0}^{n-1} k + \frac 1 {n^2} \sum_{k=0}^{n-1} k^2)= 1+\frac 2 {n^2} \frac{n(n-1)}{2}+ \frac 1 {n^3} \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$ . Donc à la limite on trouve $S'_n \to 1+1 + \frac 13 = \frac 73$ . Donc $\int_1^2 g(x) d x = 7/3$ . Remarque : on a utilisé que la somme des carrés des entiers de $0$ à $n-1$ est $\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$ . Même chose pour $\int_0^x h(t) d t$ qui est la limite de $S''_n = \frac {x} n\sum_{k=0}^{n-1} g(\frac {kx}n) = \frac {x} n\sum_{k=0}^{n-1} e^{\frac {kx}n} = \frac {x} n\sum_{k=0}^{n-1} (e^{\frac {x}n})^k$ . Cette dernière somme est la somme d’une suite géométrique (si $x\neq 0$ ), donc $S''_n = \frac {x} n \frac{1-(e^\frac xn)^n}{1-e^\frac xn}= \frac {x} n \frac{1-e^x}{1-e^\frac xn}=(1-e^x) \frac{\frac xn}{1-e^\frac xn}$ qui tend vers $e^x-1$ . Pour obtenir cette dernière limite on remarque qu’en posant $u=\frac xn$ on a $\frac{\frac xn}{1-e^\frac xn}= -1/ \frac{e^u-1}{u}$ qui tend vers $-1$ lorsque $u\to 0$ (ce qui est équivalent à $n\to +\infty$ ).

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