En utilisant les sommes de Riemann, on sait que \(\int_0^1f(x)d x\) est la limite (quand \(n \to +\infty\)) de \(\frac 1n\sum_{k=0}^{n-1} f(\frac kn)\). Notons \(S_n = \frac 1n \sum_{k=0}^{n-1} f(\frac kn)\). Alors \(S_n = \frac 1n\sum_{k=0}^{n-1}\frac k{n}=\frac 1{n^2} \sum_{k=0}^{n-1} k = \frac 1{n^2} \frac{n(n-1)}{2}\). On a utilisé que la somme des entiers de \(0\) à \(n-1\) vaut \(\frac{n(n-1)}{2}\). Donc \(S_n\) tend vers \(\frac 12\). Donc \(\int_0^1f(x)d x = \frac 12\). Même travail : \(\int_1^2 g(x) d x\) est la limite de \(S'_n = \frac {2-1} n\sum_{k=0}^{n-1} g(1+ k\frac {2-1}n) = \frac 1 n \sum_{k=0}^{n-1} (1+ \frac kn)^2 = \frac 1 n \sum_{k=0}^{n-1} (1+ 2\frac k n + \frac {k^2}{n^2})\). En séparant la somme en trois nous obtenons : \(S'_n = \frac 1n (n+\frac 2 n\sum_{k=0}^{n-1} k + \frac 1 {n^2} \sum_{k=0}^{n-1} k^2)= 1+\frac 2 {n^2} \frac{n(n-1)}{2}+ \frac 1 {n^3} \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}\). Donc à la limite on trouve \(S'_n \to 1+1 + \frac 13 = \frac 73\). Donc \(\int_1^2 g(x) d x = 7/3\). Remarque : on a utilisé que la somme des carrés des entiers de \(0\) à \(n-1\) est \(\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}\). Même chose pour \(\int_0^x h(t) d t\) qui est la limite de \(S''_n = \frac {x} n\sum_{k=0}^{n-1} g(\frac {kx}n) = \frac {x} n\sum_{k=0}^{n-1} e^{\frac {kx}n} = \frac {x} n\sum_{k=0}^{n-1} (e^{\frac {x}n})^k\). Cette dernière somme est la somme d’une suite géométrique (si \(x\neq 0\)), donc \(S''_n = \frac {x} n \frac{1-(e^\frac xn)^n}{1-e^\frac xn}= \frac {x} n \frac{1-e^x}{1-e^\frac xn}=(1-e^x) \frac{\frac xn}{1-e^\frac xn}\) qui tend vers \(e^x-1\). Pour obtenir cette dernière limite on remarque qu’en posant \(u=\frac xn\) on a \(\frac{\frac xn}{1-e^\frac xn}= -1/ \frac{e^u-1}{u}\) qui tend vers \(-1\) lorsque \(u\to 0\) (ce qui est équivalent à \(n\to +\infty\)).

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