Par l’absurde supposons que sur aucun ouvert $f$ n’est majorée. $f : X \to \Rr$ est semi-continue inférieurement donc $\forall \lambda \in \Rr \qquad O_\lambda := \{ x\in X \mid f(x) > \lambda \} \qquad \text{est un ouvert.}$ De plus $O_\lambda$ est dense, en effet pour $x \in X$ et pour $V_x$ un voisinage ouvert de $x$ , alors par hypothèse $f$ n’est pas majorée sur $V_x$ donc en particulier il existe $y \in V_x$ tel que $f(y) > \lambda$ donc $y\in V_x \cap O_\lambda$ . Ceci prouve que $O_\lambda$ est dense dans $X$ ( $V_x$ étant aussi petit que l’on veut).

Maintenant pour $n = 0,1,2,\ldots$ , les $O_n$ sont un ensemble dénombrable d’ouverts denses. Comme $X$ est complet il vérifie le théorème de Baire donc l’intersection des $O_n$ est encore un ensemble dense. Mais il est facile de voir par la définition des $O_n$ que $\bigcap_{n\in\Nn}O_n = \varnothing.$ Ce qui donne la contradiction cherchée. On note $\phi : B \to \Rr$ la fonction définie par $\phi(x) = \sup_{n\in\Nn} |f_n(x)|.$ Il n’est pas difficile de montrer que $\phi$ est semi-continue inférieurement : en effet soit $F_\lambda := \{ x\in X \mid \phi(x) \le \lambda \}$ . Soit $\lambda$ fixé et soit $(x_k)$ une suite d’éléments de $F_\lambda$ . Pour $n$ fixé et pour tout $k$ on a $f_n(x_k) \le k$ , donc par continuité de $f_n$ , on a $f_n(x) \le k$ , ceci étant vrai pour tout $n$ on a $x\in F_\lambda$ . Donc $F_\lambda$ est un fermé donc $O_\lambda := \{ x\in X \mid f(x) > \lambda \}$ est un ouvert. Donc $\phi$ est semi-continue inférieurement.

Par la première question il existe un ouvert non vide $O$ et une constante $M>0$ tel que $\phi$ soit majorée par $M$ sur $O$ . C’est-à-dire $\forall n\in \Nn \quad \forall x \in O \quad |f_n(x)| \le M.$ Par translation on peut supposer que l’origine $o$ est inclus dans $O$ . Donc il existe $\epsilon >0$ tel que $\bar B(o,\epsilon) \subset O$ . Donc $\forall n\in \Nn \quad \forall x \in \bar B(o,\epsilon) \quad |f_n(x)| \le M$ ce qui est équivalent à $\forall n\in \Nn \quad \forall x \in \bar B(o,1) \quad |f_n(x)| \le \frac M \epsilon$ Donc $\forall n\in \Nn \quad \|f_n\| \le \frac M \epsilon.$

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