Par l’absurde supposons que sur aucun ouvert \(f\) n’est majorée. \(f : X \to \Rr\) est semi-continue inférieurement donc \[\forall \lambda \in \Rr \qquad O_\lambda := \{ x\in X \mid f(x) > \lambda \} \qquad \text{est un ouvert.}\] De plus \(O_\lambda\) est dense, en effet pour \(x \in X\) et pour \(V_x\) un voisinage ouvert de \(x\), alors par hypothèse \(f\) n’est pas majorée sur \(V_x\) donc en particulier il existe \(y \in V_x\) tel que \(f(y) > \lambda\) donc \(y\in V_x \cap O_\lambda\). Ceci prouve que \(O_\lambda\) est dense dans \(X\) (\(V_x\) étant aussi petit que l’on veut).

Maintenant pour \(n = 0,1,2,\ldots\), les \(O_n\) sont un ensemble dénombrable d’ouverts denses. Comme \(X\) est complet il vérifie le théorème de Baire donc l’intersection des \(O_n\) est encore un ensemble dense. Mais il est facile de voir par la définition des \(O_n\) que \[\bigcap_{n\in\Nn}O_n = \varnothing.\] Ce qui donne la contradiction cherchée. On note \(\phi : B \to \Rr\) la fonction définie par \[\phi(x) = \sup_{n\in\Nn} |f_n(x)|.\] Il n’est pas difficile de montrer que \(\phi\) est semi-continue inférieurement : en effet soit \(F_\lambda := \{ x\in X \mid \phi(x) \le \lambda \}\). Soit \(\lambda\) fixé et soit \((x_k)\) une suite d’éléments de \(F_\lambda\). Pour \(n\) fixé et pour tout \(k\) on a \(f_n(x_k) \le k\), donc par continuité de \(f_n\), on a \(f_n(x) \le k\), ceci étant vrai pour tout \(n\) on a \(x\in F_\lambda\). Donc \(F_\lambda\) est un fermé donc \(O_\lambda := \{ x\in X \mid f(x) > \lambda \}\) est un ouvert. Donc \(\phi\) est semi-continue inférieurement.

Par la première question il existe un ouvert non vide \(O\) et une constante \(M>0\) tel que \(\phi\) soit majorée par \(M\) sur \(O\). C’est-à-dire \[\forall n\in \Nn \quad \forall x \in O \quad |f_n(x)| \le M.\] Par translation on peut supposer que l’origine \(o\) est inclus dans \(O\). Donc il existe \(\epsilon >0\) tel que \(\bar B(o,\epsilon) \subset O\). Donc \[\forall n\in \Nn \quad \forall x \in \bar B(o,\epsilon) \quad |f_n(x)| \le M\] ce qui est équivalent à \[\forall n\in \Nn \quad \forall x \in \bar B(o,1) \quad |f_n(x)| \le \frac M \epsilon\] Donc \[\forall n\in \Nn \quad \|f_n\| \le \frac M \epsilon.\]

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