Soit \((X,{\cal T})\) un espace topologique de Baire, c’est-à-dire pour lequel le théorème de Baire est valide. On va montrer que tout ouvert de \(X\) muni de la topologie induite est encore un espace de Baire.
1
Soit \((O_n)\) une suite d’ouverts denses dans \(O\); montrer que chaque \(\omega_n=O_n\cup\overline{O}^c\) est un ouvert dense dans \(X\) (on rappelle qu’un ensemble est dense dans \(X\) s’il rencontre tout ouvert de \(X\)).
2
Montrer que pour tout ouvert \(\omega\) de \(O\), \[(\cap_nO_n)\cap\omega\neq\emptyset\] En déduire le résultat.