On cherche à calculer le déterminant suivant, dit de Vandermonde : \[\Delta=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & b & c & x \\ a^2 & b^2 & c^2 & x^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 & x^3 \end{array}\right|\]
1
Quel est le degré du polynôme \(P(x)=\Delta\) ?
2
Sans calculer \(\Delta\), donner trois racines évidentes du polynôme \(P(x)\). En déduire \(\Delta\).
3
Calculer \(\left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & i & -1 & -i \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -i & -1 & i\end{array}\right|\).