On désigne par \(\{e_1, e_2, \dots, e_n\}\) la base canonique de \(\mathbb{R}^n\). À une permutation \(\sigma\in \mathcal{S}_n\), on associe l’endomorphisme \(u_\sigma\) de \(\mathbb{R}^n\) suivant : \[\begin{array}{cccl} u_{\sigma}~:& \mathbb{R}^n & \longrightarrow & \mathbb{R}^n\\ & \left(\begin{array}{c}x_1\\ \vdots \\x_n\end{array}\right) & \longmapsto & \left(\begin{array}{c}x_{\sigma(1)}\\ \vdots \\x_{\sigma(n)}\end{array}\right) \end{array}\]
Soit \(\tau = (i j)\) une transposition. Écrire la matrice de \(u_{\tau}\) dans la base canonique. Montrer que \(\textrm{det}(u_\tau) = -1\).
Montrer que \(\forall \sigma, \sigma'\in \mathcal{S}_n\), \(u_{\sigma} \circ u_{\sigma'} = u _{\sigma'\circ\sigma}\).
En déduire que \(\forall \sigma \in \mathcal{S}_n\), \(\textrm{det}\, u_{\sigma} = \varepsilon(\sigma)\) où \(\varepsilon\) désigne la signature.