L1 Algèbre Matrice Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSI 3 questions

exo7 2776

On désigne par {e1,e2,…,en}\{e_1, e_2, \dots, e_n\} la base canonique de Rn\mathbb{R}^n. À une permutation σ∈Sn\sigma\in \mathcal{S}_n, on associe l’endomorphisme uσu_\sigma de Rn\mathbb{R}^n suivant : uσ :Rn⟶Rn(x1⋮xn)⟼(xσ(1)⋮xσ(n))\begin{array}{cccl} u_{\sigma}~:& \mathbb{R}^n & \longrightarrow & \mathbb{R}^n\\ & \left(\begin{array}{c}x_1\\ \vdots \\x_n\end{array}\right) & \longmapsto & \left(\begin{array}{c}x_{\sigma(1)}\\ \vdots \\x_{\sigma(n)}\end{array}\right) \end{array}

1

Soit τ=(ij)\tau = (i j) une transposition. Écrire la matrice de uτu_{\tau} dans la base canonique. Montrer que det(uτ)=−1\textrm{det}(u_\tau) = -1.

2

Montrer que ∀σ,σ′∈Sn\forall \sigma, \sigma'\in \mathcal{S}_n, uσ∘uσ′=uσ′∘σu_{\sigma} \circ u_{\sigma'} = u _{\sigma'\circ\sigma}.

3

En déduire que ∀σ∈Sn\forall \sigma \in \mathcal{S}_n, det uσ=ε(σ)\textrm{det}\, u_{\sigma} = \varepsilon(\sigma) où ε\varepsilon désigne la signature.

Exercice 5sxW

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