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Dans le cas $M=0$ montrer que $f$ est linéaire. Ce résultat subsiste-t-il si $E$ et $F$ sont des $\C$-ev ?

On suppose $M>0$. Soit pour $x\in E$ et $n\in\N$ : $f_n(x) = 2^{-n}f(2^nx)$. Montrer que la suite $(f_n)$ converge simplement sur $E$.

On note $g = \lim_{n\to\infty}f_n$. Montrer que $g$ est une application linéaire continue et que c’est l’unique application linéaire telle que $f-g$ soit bornée.