Soient \(E,F\) deux \(\R\)-espaces vectoriels normés, \(F\) étant complet. Soit \(f\) une application continue de \(E\) dans \(F\) telle qu’il existe \(M\in\R^+\) vérifiant : \[\forall\ x,y\in E,\ \|f(x+y)-f(x)-f(y)\| \le M.\]
1
Dans le cas \(M=0\) montrer que \(f\) est linéaire. Ce résultat subsiste-t-il si \(E\) et \(F\) sont des \(\C\)-ev ?
2
On suppose \(M>0\). Soit pour \(x\in E\) et \(n\in\N\) : \(f_n(x) = 2^{-n}f(2^nx)\). Montrer que la suite \((f_n)\) converge simplement sur \(E\).
3
On note \(g = \lim_{n\to\infty}f_n\). Montrer que \(g\) est une application linéaire continue et que c’est l’unique application linéaire telle que \(f-g\) soit bornée.