Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^{n+p}\) telle que \(f(0) = f'(0) = \dots = f^{(n-1)}(0) = 0\).
On pose \(g(x) = \frac {f(x)}{x^n}\) pour \(x \ne 0\) et \(g(0) = \frac {f^{(n)}(0)}{n!}\).
1
Écrire \(g(x)\) sous forme d’une intégrale.
2
En déduire que \(g\) est de classe \(\mathcal{C}^p\) et \(|g^{(p)}(x)| \le \frac {p!}{(p+n)!}{\sup\{|f^{(n+p)}(tx)| \text{ tel que } 0 \le t \le 1 \}}\).