1
Soit \(f\) une fonction continue sur \(]a,b[\) telle que \(f(]a,b[)\subset [a,b]\). Montrer, par considération de \(\phi(x)=f(x)-x\), qu’il existe \(c\) dans \([a,b]\) tel que \(f(c)=c\).
2
Soit \(f\) une fonction continue sur \([0,1]\) telle que \(f(0)=f(1)\). Montrer qu’il existe \(c\) dans \([0,\frac{1}{2}]\) tel que \(f(c) = f(c+\frac{1}{2})\).
3
Un mobile parcours, à vitesse continue, une distance \(d\) en une unité de temps. Montrer qu’il existe un intervalle d’une demi-unité de temps pendant lequel il parcourt une distance \(\frac{d}{2}\).