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Soit $f$ une fonction continue sur $]a,b[$ telle que $f(]a,b[)\subset [a,b]$. Montrer, par considération de $\phi(x)=f(x)-x$, qu’il existe $c$ dans $[a,b]$ tel que $f(c)=c$.

Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$ telle que $f(0)=f(1)$. Montrer qu’il existe $c$ dans $[0,\frac{1}{2}]$ tel que $f(c) = f(c+\frac{1}{2})$.

Un mobile parcours, à vitesse continue, une distance $d$ en une unité de temps. Montrer qu’il existe un intervalle d’une demi-unité de temps pendant lequel il parcourt une distance $\frac{d}{2}$.