Soit \((x,y)\in\Rr\times\Rr\). Puisque \(f\) est de classe \(C^3\) sur \(\Rr\), la formule de Taylor-Laplace à l’ordre \(2\) permet d’écrire

\[\begin{array}{l} f(x+y)=f(x)+yf'(x)+\frac{y^2}{2}f''(x)+\int_{x}^{x+y}\frac{(x+y-t)^2}{2}f^{(3)}(t)\;dt\;\mbox{et}\\ f(x-y)=f(x)-yf'(x)+\frac{y^2}{2}f''(x)\int_{x}^{x-y}\frac{(x-y-t)^2}{2}f^{(3)}(t)\;dt. \end{array}\]

Donc,

\[\begin{align*}\ensuremath (f(x)^2)&\geq f(x+y)f(x-y)\\ &=(f(x)+yf'(x)+\frac{y^2}{2}f''(x)+\int_{x}^{x+y}\frac{(x+y-t)^2}{2}f^{(3)}(t)\;dt)\times\\ &\quad(f(x)-yf'(x)+\frac{y^2}{2}f''(x)+\int_{x}^{x-y}\frac{(x-y-t)^2}{2}f^{(3)}(t)\;dt)\\ &=(f(x))^2+y^2(f(x)f''(x)-(f'(x))^2)\\ &\quad+(f(x)-yf'(x)+\frac{y^2}{2}f''(x))\int_{x}^{x+y}\frac{(x+y-t)^2}{2}f^{(3)}(t)\;dt\\ &\quad+(f(x)+yf'(x)+\frac{y^2}{2}f''(x))\int_{x}^{x-y}\frac{(x-y-t)^2}{2}f^{(3)}(t)\;dt\;(*) \end{align*}\]

Maintenant, pour \(y\in[-1,1]\), (\(f^{(3)}\) étant continue sur \(\Rr\) et donc continue sur le segment \([-1,1]\)),

\[\left|\int_{x}^{x+y}\frac{(x+y-t)^2}{2}f^{(3)}(t)\;dt\right|\leq|y|.\frac{y^2}{2}\mbox{Max}\{|f^{(3)}(t)|,\;t\in[x-1,x+1]\},\]

et donc,

\[\frac{1}{y^2}\left|\int_{x}^{x+y}\frac{(x+y-t)^2}{2}f^{(3)}(t)\;dt\right|\leq|y|\mbox{Max}\{|f^{(3)}(t)|,\;t\in[x-1,x+1]\}.\]

Cette dernière expression tend vers \(0\) quand \(y\) tend vers \(0\). On en déduit que \(\frac{1}{y^2}\left|\int_{x}^{x+y}\frac{(x+y-t)^2}{2}f^{(3)}(t)\;dt\right|\) tend vers \(0\) quand \(y\) tend vers \(0\). De même, \(\frac{1}{y^2}\left|\int_{x}^{x-y}\frac{(x-y-t)^2}{2}f^{(3)}(t)\;dt\right|\) tend vers \(0\) quand \(y\) tend vers \(0\).

On simplifie alors \((f(x)^2\) dans les deux membres de \((*)\). On divise les deux nouveaux membres par \(y^2\) pour \(y\neq 0\) puis on fait tendre \(y\) vers \(0\) à \(x\) fixé. On obtient \(0\geq f(x)f''(x)-(f'(x))^2\), qui est l’inégalité demandée.

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