Soit $(x,y)\in\Rr\times\Rr$ . Puisque $f$ est de classe $C^3$ sur $\Rr$ , la formule de Taylor-Laplace à l’ordre $2$ permet d’écrire

$\begin{array}{l} f(x+y)=f(x)+yf'(x)+\frac{y^2}{2}f''(x)+\int_{x}^{x+y}\frac{(x+y-t)^2}{2}f^{(3)}(t)\;dt\;\mbox{et}\\ f(x-y)=f(x)-yf'(x)+\frac{y^2}{2}f''(x)\int_{x}^{x-y}\frac{(x-y-t)^2}{2}f^{(3)}(t)\;dt. \end{array}$

Donc,

$\begin{align*}\ensuremath (f(x)^2)&\geq f(x+y)f(x-y)\\ &=(f(x)+yf'(x)+\frac{y^2}{2}f''(x)+\int_{x}^{x+y}\frac{(x+y-t)^2}{2}f^{(3)}(t)\;dt)\times\\ &\quad(f(x)-yf'(x)+\frac{y^2}{2}f''(x)+\int_{x}^{x-y}\frac{(x-y-t)^2}{2}f^{(3)}(t)\;dt)\\ &=(f(x))^2+y^2(f(x)f''(x)-(f'(x))^2)\\ &\quad+(f(x)-yf'(x)+\frac{y^2}{2}f''(x))\int_{x}^{x+y}\frac{(x+y-t)^2}{2}f^{(3)}(t)\;dt\\ &\quad+(f(x)+yf'(x)+\frac{y^2}{2}f''(x))\int_{x}^{x-y}\frac{(x-y-t)^2}{2}f^{(3)}(t)\;dt\;(*) \end{align*}$

Maintenant, pour $y\in[-1,1]$ , ( $f^{(3)}$ étant continue sur $\Rr$ et donc continue sur le segment $[-1,1]$ ),

$\left|\int_{x}^{x+y}\frac{(x+y-t)^2}{2}f^{(3)}(t)\;dt\right|\leq|y|.\frac{y^2}{2}\mbox{Max}\{|f^{(3)}(t)|,\;t\in[x-1,x+1]\},$

et donc,

$\frac{1}{y^2}\left|\int_{x}^{x+y}\frac{(x+y-t)^2}{2}f^{(3)}(t)\;dt\right|\leq|y|\mbox{Max}\{|f^{(3)}(t)|,\;t\in[x-1,x+1]\}.$

Cette dernière expression tend vers $0$ quand $y$ tend vers $0$ . On en déduit que $\frac{1}{y^2}\left|\int_{x}^{x+y}\frac{(x+y-t)^2}{2}f^{(3)}(t)\;dt\right|$ tend vers $0$ quand $y$ tend vers $0$ . De même, $\frac{1}{y^2}\left|\int_{x}^{x-y}\frac{(x-y-t)^2}{2}f^{(3)}(t)\;dt\right|$ tend vers $0$ quand $y$ tend vers $0$ .

On simplifie alors $(f(x)^2$ dans les deux membres de $(*)$ . On divise les deux nouveaux membres par $y^2$ pour $y\neq 0$ puis on fait tendre $y$ vers $0$ à $x$ fixé. On obtient $0\geq f(x)f''(x)-(f'(x))^2$ , qui est l’inégalité demandée.

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