Soit \(\sigma \in S_n\) (groupe symétrique) et \({f_\sigma} : { K^n} \to { K^n}, {(x_1,\dots x_n)} \mapsto {(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(n)})}\)
On munit \(K^n\) de la structure d’algèbre pour les opérations composante par composante.
1
Montrer que \(f_{\sigma}\) est un automorphisme d’algèbre.
2
Soit \(\varphi\) un automorphisme d’algèbre de \(K^n\).
3
Montrer que la base canonique de \(K^n\) est invariante par \(\varphi\) (étudier \(\varphi(e_i^2)\) et \(\varphi(e_i\times e_j)\)).
4
En déduire qu’il existe \(\sigma \in S_n\) tel que \(\varphi = f_\sigma\).