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Soit $\sigma \in S_n$ (groupe symétrique) et ${f_\sigma} : { K^n} \to { K^n}, {(x_1,\dots x_n)} \mapsto {(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(n)})}$

On munit $K^n$ de la structure d’algèbre pour les opérations composante par composante.

Montrer que $f_{\sigma}$ est un automorphisme d’algèbre.

Soit $\varphi$ un automorphisme d’algèbre de $K^n$ .

Montrer que la base canonique de $K^n$ est invariante par $\varphi$ (étudier $\varphi(e_i^2)$ et $\varphi(e_i\times e_j)$ ).

En déduire qu’il existe $\sigma \in S_n$ tel que $\varphi = f_\sigma$ .

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