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Montrer que si $X$ est une matrice non-dégénérée, alors $XY\neq 0$ et $YX\neq 0,\; \forall Y\neq 0$.

Soit $X\in M_n(F)$ et soit l’application linéaire $f_X:F^n\to F^n,\; f_X(v):=Xv$. Trouver une écriture de la relation $XY=0,\; X,\; Y\in M_n(F)$ en termes de noyaux et images des applications $f_X,\; f_Y$. Même question pour la relation $YX=0$. En déduire que toute matrice dégénérée non-nulle est un diviseur de 0.

Montrer que tout idéal bilatère de $M_n(F)$ contient, avec une matrice de rang $r$, toutes les matrices diagonales de rang $r$.

Montrer qu’un idéal qui contient une matrice non-dégénérée coı̈ncide avec $M_n(F)$.

Montrer que les seuls idéaux de $M_n(F)$ sont $0$ et $M_n(F)$.