Soit \(M_n(F)\) l’anneau des matrices sur un corps \(F\).
Montrer que si \(X\) est une matrice non-dégénérée, alors \(XY\neq 0\) et \(YX\neq 0,\; \forall Y\neq 0\).
Soit \(X\in M_n(F)\) et soit l’application linéaire \(f_X:F^n\to F^n,\; f_X(v):=Xv\). Trouver une écriture de la relation \(XY=0,\; X,\; Y\in M_n(F)\) en termes de noyaux et images des applications \(f_X,\; f_Y\). Même question pour la relation \(YX=0\). En déduire que toute matrice dégénérée non-nulle est un diviseur de 0.
Montrer que tout idéal bilatère de \(M_n(F)\) contient, avec une matrice de rang \(r\), toutes les matrices diagonales de rang \(r\).
Montrer qu’un idéal qui contient une matrice non-dégénérée coı̈ncide avec \(M_n(F)\).
Montrer que les seuls idéaux de \(M_n(F)\) sont \(0\) et \(M_n(F)\).