Soit $(x,y,z,t)\in\Rr^4$ .

$\begin{align*}\ensuremath \varphi(x,y)=(z,t)&\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} e^x-e^y=z\\ x+y=t \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y=t-x\\ e^x-e^{t-x}=z \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y=t-x\\ (e^x)^2-ze^x-e^t=0 \end{array} \right.\\ &\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y=t-x\\ e^x=z-\sqrt{z^2+4e^t}\;\text{ou}\;e^x=z+\sqrt{z^2+4e^t} \end{array} \right.\\ &\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} e^x=z+\sqrt{z^2+4e^t}\\ y=t-x \end{array} \right.\;(\text{car}\;z-\sqrt{z^2+4e^t}<z-\sqrt{z^2}=z-|z|\leqslant0)\\ &\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x=\ln(z+\sqrt{z^2+4e^t})\\ y=t-\ln(z+\sqrt{z^2+4e^t}) \end{array} \right.\;(\text{car}\;z+\sqrt{z^2+4e^t}>z+\sqrt{z^2}=z+|z|\geqslant0). \end{align*}$

Ainsi, tout élément $(z,t)\in\Rr^2$ a un antécédent et un seul dans $\Rr^2$ par $\varphi$ et donc $\varphi$ est une bijection de $\Rr^2$ sur lui-même.

La fonction $\varphi$ est de classe $C^1$ sur $\Rr^2$ de jacobien $J_\varphi(x,y)=\left| \begin{array}{cc} e^x&-e^y\\ 1&1 \end{array} \right|=e^x+e^y$ . Le jacobien de $\varphi$ ne s’annule pas sur $\Rr^2$ . En résumé, $\varphi$ est une bijection de $\Rr^2$ sur lui-même, de classe $C^1$ sur $\Rr^2$ et le jacobien de $\varphi$ ne s’annule pas sur $\Rr^2$ . On sait alors que

$\varphi$ est un $C^1$ -difféomorphisme de $\Rr^2$ sur lui-même.

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