Soit \((x,y,z,t)\in\Rr^4\).

\[\begin{align*}\ensuremath \varphi(x,y)=(z,t)&\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} e^x-e^y=z\\ x+y=t \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y=t-x\\ e^x-e^{t-x}=z \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y=t-x\\ (e^x)^2-ze^x-e^t=0 \end{array} \right.\\ &\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y=t-x\\ e^x=z-\sqrt{z^2+4e^t}\;\text{ou}\;e^x=z+\sqrt{z^2+4e^t} \end{array} \right.\\ &\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} e^x=z+\sqrt{z^2+4e^t}\\ y=t-x \end{array} \right.\;(\text{car}\;z-\sqrt{z^2+4e^t}<z-\sqrt{z^2}=z-|z|\leqslant0)\\ &\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x=\ln(z+\sqrt{z^2+4e^t})\\ y=t-\ln(z+\sqrt{z^2+4e^t}) \end{array} \right.\;(\text{car}\;z+\sqrt{z^2+4e^t}>z+\sqrt{z^2}=z+|z|\geqslant0). \end{align*}\]

Ainsi, tout élément \((z,t)\in\Rr^2\) a un antécédent et un seul dans \(\Rr^2\) par \(\varphi\) et donc \(\varphi\) est une bijection de \(\Rr^2\) sur lui-même.

La fonction \(\varphi\) est de classe \(C^1\) sur \(\Rr^2\) de jacobien \(J_\varphi(x,y)=\left| \begin{array}{cc} e^x&-e^y\\ 1&1 \end{array} \right|=e^x+e^y\). Le jacobien de \(\varphi\) ne s’annule pas sur \(\Rr^2\). En résumé, \(\varphi\) est une bijection de \(\Rr^2\) sur lui-même, de classe \(C^1\) sur \(\Rr^2\) et le jacobien de \(\varphi\) ne s’annule pas sur \(\Rr^2\). On sait alors que

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