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On définit les fonctions suivantes : $f_{1} : t \mapsto \cos t .\mbox{ch}t, f_{2} : t \mapsto \cos t .\mbox{sh}t, f_{3} : t \mapsto \sin t .\mbox{ch}t, f_{4} : t \mapsto \sin t .\mbox{sh} t$. Montrer que le système $(f_{1},f_{2},f_{3},f_{4})$ est libre dans ${ \Rr}^{ \Rr}$.

Même question pour la famille ${\mathcal F}=\{f_{\lambda} : t \mapsto e^{\lambda t}, \lambda \in { \Rr}\}$.