Notons \(\mathcal{E}\) l’ensemble cherché.

Tout d’abord, pour tout réel \(\theta\), \(1+\sin(2\theta)\geq0\), \(1-\sin(2\theta)\geq0\) puis \(\sqrt{1+\sin(2\theta)}+\sqrt{1-\sin(2\theta)}>0\), car \(\sin(2\theta)\) ne peut valoir simultanément \(1\) et \(-1\). La fonction \(r\mapsto r(\theta)\) est donc définie sur \(\Rr\), clairement \(2\pi\)-périodique.

Ainsi,

\[M(\theta+2\pi)=[r(\theta+2\pi),\theta+2\pi]=[r(\theta),\theta+2\pi]=M(\theta).\]

On obtient donc l’ensemble complet quand \(\theta\) décrit un intervalle de longueur \(2\pi\) comme \([-\pi,\pi]\) par exemple.

La fonction \(r\mapsto r(\theta)\) est plus paire. Par suite,

\[M(-\theta)=[r(-\theta),-\theta]=[r(\theta),-\theta]=s_{(Ox)}(M(\theta)).\]

On construit l’ensemble des points correspondant à \(\theta\in[0,\pi]\) et on obtient l’ensemble complet par symétrie orthogonale d’axe \((Ox)\).

Pour \(\theta\in[0,\pi]\), on a clairement \(r(\pi-\theta)=r(\theta)\). Par suite,

\[M(\pi-\theta)=[r(\pi-\theta),\pi-\theta]=[r(\theta),\pi-\theta]=s_{(Oy)}(M(\theta)).\]

On construit l’ensemble des points correspondant à \(\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]\) et on obtient l’ensemble complet par symétrie orthogonale d’axe \((Oy)\) puis par symétrie orthogonale d’axe \((Ox)\).

Pour \(\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]\), on a clairement \(r(\frac{\pi}{2}-\theta)=r(\theta)\). Par suite, en notant \((\Delta)\) la droite d’équation \(y=x\),

\[M(\frac{\pi}{2}-\theta)=[r(\frac{\pi}{2}-\theta),\frac{\pi}{2}-\theta]=[r(\theta),\frac{\pi}{2}-\theta] =s_{(\Delta)}(M(\theta)).\]

On construit l’ensemble des points correspondant à \(\theta\in[0,\frac{\pi}{4}]\) et on obtient l’ensemble complet par symétrie orthogonale d’axe \((\Delta)\) puis par symétrie orthogonale d’axe \((Oy)\) et enfin par symétrie orthogonale d’axe \((Ox)\).

Maintenant, pour \(\theta\in[0,\frac{\pi}{4}]\),

\[\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{1+\sin(2\theta)}+\sqrt{1-\sin(2\theta)}}&= \frac{1}{\sqrt{1+\cos(\frac{\pi}{2}-2\theta)}+\sqrt{1-\cos(\frac{\pi}{2}-2\theta)}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\cos^2(\frac{\pi}{4}-\theta)}+\sqrt{2\sin^2(\frac{\pi}{4}-\theta)}} =\frac{1}{\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4}-\theta)+\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4}-\theta)}\\ &=\frac{1}{2\cos(\frac{\pi}{4}-(\frac{\pi}{4}-\theta))}=\frac{1}{2\cos\theta}. \end{align*}\]

En notant \(x\) et \(y\) les coordonnées d’un point \(M\), on a alors

\[M\in\mathcal{E}\Leftrightarrow r=\frac{1}{2\cos\theta}\Leftrightarrow r\cos(\theta)=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}.\]

D’où le graphique :

\[\]

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