Notons $\mathcal{E}$ l’ensemble cherché.

Tout d’abord, pour tout réel $\theta$ , $1+\sin(2\theta)\geq0$ , $1-\sin(2\theta)\geq0$ puis $\sqrt{1+\sin(2\theta)}+\sqrt{1-\sin(2\theta)}>0$ , car $\sin(2\theta)$ ne peut valoir simultanément $1$ et $-1$ . La fonction $r\mapsto r(\theta)$ est donc définie sur $\Rr$ , clairement $2\pi$ -périodique.

Ainsi,

$M(\theta+2\pi)=[r(\theta+2\pi),\theta+2\pi]=[r(\theta),\theta+2\pi]=M(\theta).$

On obtient donc l’ensemble complet quand $\theta$ décrit un intervalle de longueur $2\pi$ comme $[-\pi,\pi]$ par exemple.

La fonction $r\mapsto r(\theta)$ est plus paire. Par suite,

$M(-\theta)=[r(-\theta),-\theta]=[r(\theta),-\theta]=s_{(Ox)}(M(\theta)).$

On construit l’ensemble des points correspondant à $\theta\in[0,\pi]$ et on obtient l’ensemble complet par symétrie orthogonale d’axe $(Ox)$ .

Pour $\theta\in[0,\pi]$ , on a clairement $r(\pi-\theta)=r(\theta)$ . Par suite,

$M(\pi-\theta)=[r(\pi-\theta),\pi-\theta]=[r(\theta),\pi-\theta]=s_{(Oy)}(M(\theta)).$

On construit l’ensemble des points correspondant à $\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$ et on obtient l’ensemble complet par symétrie orthogonale d’axe $(Oy)$ puis par symétrie orthogonale d’axe $(Ox)$ .

Pour $\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$ , on a clairement $r(\frac{\pi}{2}-\theta)=r(\theta)$ . Par suite, en notant $(\Delta)$ la droite d’équation $y=x$ ,

$M(\frac{\pi}{2}-\theta)=[r(\frac{\pi}{2}-\theta),\frac{\pi}{2}-\theta]=[r(\theta),\frac{\pi}{2}-\theta] =s_{(\Delta)}(M(\theta)).$

On construit l’ensemble des points correspondant à $\theta\in[0,\frac{\pi}{4}]$ et on obtient l’ensemble complet par symétrie orthogonale d’axe $(\Delta)$ puis par symétrie orthogonale d’axe $(Oy)$ et enfin par symétrie orthogonale d’axe $(Ox)$ .

Maintenant, pour $\theta\in[0,\frac{\pi}{4}]$ ,

$\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{1+\sin(2\theta)}+\sqrt{1-\sin(2\theta)}}&= \frac{1}{\sqrt{1+\cos(\frac{\pi}{2}-2\theta)}+\sqrt{1-\cos(\frac{\pi}{2}-2\theta)}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\cos^2(\frac{\pi}{4}-\theta)}+\sqrt{2\sin^2(\frac{\pi}{4}-\theta)}} =\frac{1}{\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4}-\theta)+\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4}-\theta)}\\ &=\frac{1}{2\cos(\frac{\pi}{4}-(\frac{\pi}{4}-\theta))}=\frac{1}{2\cos\theta}. \end{align*}$

En notant $x$ et $y$ les coordonnées d’un point $M$ , on a alors

$M\in\mathcal{E}\Leftrightarrow r=\frac{1}{2\cos\theta}\Leftrightarrow r\cos(\theta)=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}.$

D’où le graphique :

\[\]

exo7 5205